(4,0)Seja
f(x, y)=lll 2 x y^2x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(b) Determine, se posível, as derivadas parciais de f em R^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
f(x,y)=dfrac2xy^2x^2+y^4,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, usando a definição no ponto (0,0) e a regra do quociente para (x,y)neq(0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), escrevemos
N(x,y)=2xy^2,
D(x,y)=x^2+y^4,
e aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x=NxD - N DxD^2
Calculando as derivadas:
Nx=2y^2,
Dx=2x,
então
partial fpartial x(x,y) =2y^2(x^2+y^4)-2xy^2cdot2x(x^2+y^4)^2 =2y^2l(y^4-x^2r)(x^2+y^4)^2
De modo análogo,
Ny=4xy,
Dy=4y^3,
partial fpartial y(x,y) =4xy(x^2+y^4)-2xy^2cdot4y^3(x^2+y^4)^2 =4xyl(x^2-y^4r)(x^2+y^4)^2

Passo 3

No ponto (0,0) usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h
Como f(h,0)=2hcdot0^2h^2+0=0, vem
partial fpartial x(0,0)=0

Passo 4

Para partial f/partial y em (0,0),
partial fpartial y(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h
Como f(0,h)=2cdot0cdot h^20+h^4=0, segue
partial fpartial y(0,0)=0

Resposta

As derivadas parciais são:
Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y)=2y^2l(y^4 - x^2r)(x^2+y^4)^2,
partial fpartial y(x,y)=4xyl(x^2 - y^4r)(x^2+y^4)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0)=0,
partial fpartial y(0,0)=0

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