(4,0)Seja
(a) A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Temos uma função de duas variáveis definida por
O conteúdo é continuidade em ℝ² e vamos usar definição de continuidade e limites em várias direções para decidir se f é contínua em todo o plano.
Passo 2
Para qualquer ponto
, a função
é quociente de polinômios e o denominador
é positivo. Logo, por ser combinação de operações contínuas,
é contínua em todo ponto diferente de
.
Passo 3
No ponto
, precisamos verificar se
existe e é igual a
. Primeiro, vamos avaliar o limite ao longo da reta
. Substituindo em
temos
Logo, ao longo de
o limite é 0.
Passo 4
Agora escolhemos o caminho
. Substituindo em
obtemos
Assim, ao longo de
o limite é 1.
Passo 5
Como encontramos dois caminhos com limites diferentes (0 e 1), o limite
não existe. Portanto,
não é contínua em
, mas é contínua em todos os outros pontos.
Resposta
A função é contínua em e descontínua em
; portanto, não é contínua em todo o plano.