(4,0)Seja
f(x, y)=lll 2 x y^2x^2+y^4 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) A função f é contínua em R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Temos uma função de duas variáveis definida por
f(x,y)= 2xy^2x^2+y^4&se (x,y)neq(0,0) 0&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade em ℝ² e vamos usar definição de continuidade e limites em várias direções para decidir se f é contínua em todo o plano.

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), a função f(x,y)=2xy^2/(x^2+y^4) é quociente de polinômios e o denominador x^2+y^4 é positivo. Logo, por ser combinação de operações contínuas, f é contínua em todo ponto diferente de (0,0).

Passo 3

No ponto (0,0), precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0. Primeiro, vamos avaliar o limite ao longo da reta x=0. Substituindo em f temos
f(0,y)=2cdot0cdot y^20^2+y^4=0
Logo, ao longo de x=0 o limite é 0.

Passo 4

Agora escolhemos o caminho x=y^2. Substituindo em f obtemos
f(y^2,y)=2,(y^2),y^2(y^2)^2+y^4 =2y^4y^4+y^4 =1(para yneq0)
Assim, ao longo de x=y^2 o limite é 1.

Passo 5

Como encontramos dois caminhos com limites diferentes (0 e 1), o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe. Portanto, f não é contínua em (0,0), mas é contínua em todos os outros pontos.

Resposta

A função é contínua em e descontínua em R^2setminus(0,0); portanto, não é contínua em todo o plano.

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