(4,0) Seja
f(x, y)=lll x^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
© A função f é diferenciável em R^2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por partes: para (x,y)neq(0,0) temos f(x,y)=x^4x^2+y^2 e f(0,0)=0. O objetivo é verificar se f é diferenciável em todos os pontos de R^2, em particular no ponto crítico (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) o denominador x^2+y^2 é não nulo, e x^4 e x^2+y^2 são polinômios suaves. Assim f(x,y)=x^4cdot(x^2+y^2)^-1 é composição de funções diferenciáveis, logo f é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

No ponto (0,0) vamos calcular as derivadas parciais por definição e depois verificar a condição de diferenciabilidade. Primeiro, calculamos partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0h^4/(h^2+0^2)-0h=limhto0h^4/h^2h=limhto0h=0
Análogamente, calculamos partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto00/(0+k^2)k=0

Passo 4

Como as derivadas parciais em (0,0) existem e valem zero, o candidato ao diferencial linear em (0,0) é a forma nula L(h,k)=0.
Para checar a diferenciabilidade, precisamos mostrar que
lim(h,k)to(0,0)f(h,k)-L(h,k)raizh^2+k^2=lim(h,k)to(0,0)f(h,k)raizh^2+k^2=0

Passo 5

Observe que r=raizh^2+k^2 satisfaz |h|<= r, então
|f(h,k)|=|h^4h^2+k^2|=|h|^4r^2<=r^4r^2=r^2
Desse modo
|f(h,k)r|<=r^2r=rto0quando rto0

Passo 6

Portanto o limite de f(h,k)/raizh^2+k^2 é zero, implicando que f é diferenciável em (0,0).
Juntando os dois casos, concluímos que f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

A função f é diferenciável em R^2.

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