O enunciado define a função por partes: para temos e . O objetivo é verificar se é diferenciável em todos os pontos de , em particular no ponto crítico .
Passo 2
Para o denominador é não nulo, e e são polinômios suaves. Assim é composição de funções diferenciáveis, logo é diferenciável em todo ponto .
Passo 3
No ponto vamos calcular as derivadas parciais por definição e depois verificar a condição de diferenciabilidade. Primeiro, calculamos
Análogamente, calculamos
Passo 4
Como as derivadas parciais em existem e valem zero, o candidato ao diferencial linear em é a forma nula .
Para checar a diferenciabilidade, precisamos mostrar que
Passo 5
Observe que satisfaz , então
Desse modo
|f(h,k)r|<=r^2r=rto0quando rto0
Passo 6
Portanto o limite de f(h,k)/raizh^2+k^2 é zero, implicando que f é diferenciável em (0,0).
Juntando os dois casos, concluímos que f é diferenciável em todo R^2.