Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano
correspondente à região
do plano
.
e
é o paralelogramo gerado pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
e
, e pede para descrever, em termos de
, o paralelogramo
gerado pelos vetores
e
. O conteúdo aqui é mudança de variáveis em coordenadas lineares, e vamos precisar usar a interpretação de um paralelogramo gerado por vetores como imagem de um quadrado unitário no plano
.
Passo 2
Qualquer ponto
em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores:
. Usando a transformação dada, isso corresponde exatamente a
e
.
Passo 3
Para que a combinação
percorra todo o paralelogramo, basta deixar os parâmetros
e
variarem de 0 até 1. Assim, o domínio em
que mapeia em
é o quadrado unitário.
Passo 4
Concluímos que a região no plano
correspondente a
é dada por
e
.
Resposta
A região em
é o quadrado unitário:
.