Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano u v correspondente à região R do plano x y.
lx=2 u+3 v y=5 u+v e R é o paralelogramo gerado pelos vetores p=(2,5) e q=(3,1).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:(u,v)mapsto(x,y) definida por x=2u+3v e y=5u+v, e pede para descrever, em termos de (u,v), o paralelogramo R gerado pelos vetores vec p=(2,5) e vec q=(3,1). O conteúdo aqui é mudança de variáveis em coordenadas lineares, e vamos precisar usar a interpretação de um paralelogramo gerado por vetores como imagem de um quadrado unitário no plano uv.

Passo 2

Qualquer ponto (x,y) em R pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores: (x,y)=u,(2,5)+v,(3,1). Usando a transformação dada, isso corresponde exatamente a x=2u+3v e y=5u+v.

Passo 3

Para que a combinação u,(2,5)+v,(3,1) percorra todo o paralelogramo, basta deixar os parâmetros u e v variarem de 0 até 1. Assim, o domínio em uv que mapeia em R é o quadrado unitário.

Passo 4

Concluímos que a região no plano uv correspondente a R é dada por 0<= u<=1 e 0<= v<=1.

Resposta

A região em uv é o quadrado unitário: 0<= u<=1,;0<= v<=1.

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