Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano
correspondente à região
do plano
.
e
é a região limitada pela elipse
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação do plano uv para o plano xy por
e pede para descrever, em termos de (u,v), a região R limitada pela elipse
Vamos usar essa mudança de variáveis para achar os limites de u e v.
Passo 2
Substituímos x e y na equação da elipse e vemos o que isso implica para (u,v):
Portanto a condição
vira
.
Passo 3
Da desigualdade
concluímos que
Aqui consideramos
porque valores negativos de u só inverteriam a parametrização, sem acrescentar pontos novos.
Passo 4
Para cobrir toda a elipse (e seu interior) usamos o parâmetro angular v variando de 0 a 2
, ou seja:
Passo 5
Com isso, a região R no plano xy corresponde à região no plano uv dada por
Resposta
A região em (u,v) é dada por