Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano u v correspondente à região R do plano x y.
lx=a u cos v y=b u sen v e R é a região limitada pela elipse x^2a^2+y^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação do plano uv para o plano xy por
x = a,ucos v, y = b,usin v,
e pede para descrever, em termos de (u,v), a região R limitada pela elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
Vamos usar essa mudança de variáveis para achar os limites de u e v.

Passo 2

Substituímos x e y na equação da elipse e vemos o que isso implica para (u,v):
(a u cos v)^2a^2+(b u sin v)^2b^2 = u^2(cos^2 v+sin^2 v) = u^2
Portanto a condição x^2/a^2+y^2/b^2<=1 vira u^2<=1.

Passo 3

Da desigualdade u^2<=1 concluímos que
0<= u<=1
Aqui consideramos u>=0 porque valores negativos de u só inverteriam a parametrização, sem acrescentar pontos novos.

Passo 4

Para cobrir toda a elipse (e seu interior) usamos o parâmetro angular v variando de 0 a 2 pi, ou seja:
0<= v<=2pi

Passo 5

Com isso, a região R no plano xy corresponde à região no plano uv dada por
0<= u<=1, 0<= v<=2pi

Resposta

A região em (u,v) é dada por
0<= u<=1, 0<= v<=2pi

Exercícios relacionados