Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa: Se
, então
é um ponto de inflexão da curva
.
Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa: Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a condição
basta para que
seja ponto de inflexão da curva
. O conteúdo principal é ponto de inflexão e teste da segunda derivada, e vamos precisar lembrar a definição de inflexão como mudança de concavidade (isto é, mudança de sinal de
em torno de
).
Passo 2
Para que um ponto seja de inflexão, não basta ter
; é preciso que
troque de sinal ao passar por
. Em outras palavras, a segunda derivada deve ser negativa de um lado e positiva do outro (ou vice-versa).
Passo 3
Um contraexemplo simples é
. Calculando:
Note que
, mas para todo
temos
. Logo, a concavidade permanece para cima em ambos os lados de zero, sem trocar de sinal.
Passo 4
Portanto, apesar de
, não há mudança de concavidade em
no exemplo de
, o que mostra que a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa. Ter
não garante ponto de inflexão—por exemplo, em
a segunda derivada anula-se em zero mas não muda de sinal.