Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa: Se f^prime prime(0)=0, então (0, f(0)) é um ponto de inflexão da curva y=f(x).

Passo 1

O enunciado pergunta se a condição f''(0)=0 basta para que (0,f(0)) seja ponto de inflexão da curva y=f(x). O conteúdo principal é ponto de inflexão e teste da segunda derivada, e vamos precisar lembrar a definição de inflexão como mudança de concavidade (isto é, mudança de sinal de f''(x) em torno de x=0).

Passo 2

Para que um ponto seja de inflexão, não basta ter f''(0)=0; é preciso que f''(x) troque de sinal ao passar por x=0. Em outras palavras, a segunda derivada deve ser negativa de um lado e positiva do outro (ou vice-versa).

Passo 3

Um contraexemplo simples é f(x)=x^4. Calculando:
f'(x)=4x^3, f''(x)=12x^2
Note que f''(0)=12cdot0^2=0, mas para todo xneq0 temos f''(x)=12x^2>0. Logo, a concavidade permanece para cima em ambos os lados de zero, sem trocar de sinal.

Passo 4

Portanto, apesar de f''(0)=0, não há mudança de concavidade em x=0 no exemplo de x^4, o que mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa. Ter f''(0)=0 não garante ponto de inflexão—por exemplo, em f(x)=x^4 a segunda derivada anula-se em zero mas não muda de sinal.

Exercícios relacionados