Em cada item, verifique que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
W=(x, y): y=3 x em V=R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,y)inR^2 : y = 3x
é subespaço vetorial de V=R^2.
Para isso, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaço:
  1. W não é vazio (contém (0,0)).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo de R^2 está em W.
Tomando x=0, temos y=3cdot0=0.
Logo (0,0)in W, então Wneqvarnothing.

Passo 3

Verificamos a fechamento de W sob soma.
Sejam (x1,y1) e (x2,y2) em W. Então
y1 = 3x1 e y2 = 3x2
A soma é
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,,,y1+y2,)
Mas
y1 + y2 = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2),
logo (x1+x2,y1+y2) satisfaz a relação y=3x, ou seja, pertence a W.

Passo 4

Verificamos o fechamento de W sob multiplicação por escalar.
Se (x,y)in W e alphainR, então y=3x e
alpha,(x,y) = (alpha x,alpha y)
Como
alpha y = alpha,(3x) = 3,(alpha x),
segue que (alpha x,alpha y) também satisfaz y=3x, isto é, está em W.

Resposta

Portanto, W satisfaz as três condições de subespaço de R^2 e é de fato um subespaço vetorial.

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