Em cada item, verifique que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço vetorial de
.
Para isso, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaço:
Para isso, precisamos verificar três propriedades básicas de subespaço:
-
não é vazio (contém ). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo de
está em
.
Tomando , temos
.
Logo , então
.
Tomando
Logo
Passo 3
Verificamos a fechamento de
sob soma.
Sejam e
em
. Então
Sejam
A soma é
Mas
logo
satisfaz a relação
, ou seja, pertence a
.
Passo 4
Verificamos o fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Se e
, então
e
Se
Como
segue que
também satisfaz
, isto é, está em
.
Resposta
Portanto,
satisfaz as três condições de subespaço de
e é de fato um subespaço vetorial.