Diga porque o conjunto W NÃO é subespaço do espaço vetorial V indicado:
W=[lllx11 & x12 & x13 x21 & x22 & x23 x31 & x32 & x33]: x11+x22+x33=3 em V=M3(R).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=M3(R), ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 3times3 com as operações usuais. O subconjunto em questão é
W=Xin M3(R) mid x11+x22+x33=3,
isto é, todas as matrizes cuja soma dos elementos da diagonal principal é igual a 3. Para que W seja subespaço de V, é preciso verificar três condições:
  1. W contém o vetor zero (a matriz zero).
  2. W é fechado sob soma.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero
0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
pertence a W. No caso,
011+022+033=0+0+0=0neq3,
logo 0notin W. Sendo a matriz zero o elemento neutro de V, a ausência deste em W já basta para concluir que W não é subespaço.

Passo 3

De modo equivalente, podemos ver a falha na propriedade de fechamento por escalar. Tome qualquer Xin W, então tr(X)=x11+x22+x33=3. Para um escalar lambdainR temos
tr(lambda X)=lambda,tr(X)=3lambda
Se lambdaneq1, então 3lambdaneq3, ou seja, lambda Xnotin W. Falha, portanto, o fechamento por escalar.

Resposta

W não é subespaço de V porque não contém o vetor zero (e tampouco é fechado sob multiplicação por escalar).

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