Diga porque o conjunto W NÃO é subespaço do espaço vetorial V indicado:
W=f:[-1,1] R: f é uma função descontínua no ponto x=0 em V=F([0,1])) o espaço das funções. Dica: Pegue uma função descontínua e multiplique por lambda=0 ou pegue uma função descontínua e some com ela de sinal trocado.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V das funções reais definidas em [-1,1] (denotado por F([-1,1])) e o subconjunto
W = ,fin V : f é descontínua em x=0 éí
Para ser subespaço vetorial, um conjunto precisa, entre outras coisas, conter o vetor zero e ser fechado sob multiplicação por escalares e sob soma.

Passo 2

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja fin W; por hipótese f é descontínua em 0. Agora tome o escalar lambda=0. Então
0cdot f = 0,
que é a função nula, conhecida por ser contínua em todo ponto de [-1,1]. Logo 0cdot fnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalares e nem contém o vetor zero.

Resposta

W não é subespaço de V porque falha na propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar (e não contém a função nula).

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