Diga porque o conjunto
NÃO é subespaço do espaço vetorial
indicado:
é uma função descontínua no ponto
em
o espaço das funções. Dica: Pegue uma função descontínua e multiplique por
ou pegue uma função descontínua e some com ela de sinal trocado.
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
das funções reais definidas em
(denotado por
) e o subconjunto
Para ser subespaço vetorial, um conjunto precisa, entre outras coisas, conter o vetor zero e ser fechado sob multiplicação por escalares e sob soma.
Passo 2
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
; por hipótese
é descontínua em
. Agora tome o escalar
. Então
que é a função nula, conhecida por ser contínua em todo ponto de
. Logo
. Isso mostra que
não é fechado sob multiplicação por escalares e nem contém o vetor zero.