Em cada item, verifique que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
em
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos mostrar que
é subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço, que exige verificar três propriedades: (i) o vetor zero está em
, (ii)
é fechado sob soma de vetores e (iii)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
pertence a
. De fato, no vetor
temos
e isso coincide com
. Logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Tome dois vetores quaisquer em
,
sujeitos a
e
. Então
Para ver se
, calculamos
que é exatamente a primeira coordenada de
. Assim
satisfaz a condição e pertence a
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
com
e
. Então
Verificamos a condição em
:
que é a primeira coordenada de
. Logo
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três condições de subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto,
é um subespaço de
.