Em cada item, verifique que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
W=(x, y, z): y-z=x em V=R^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid y - z = x
Queremos mostrar que W é subespaço de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço, que exige verificar três propriedades: (i) o vetor zero está em W, (ii) W é fechado sob soma de vetores e (iii) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) pertence a W. De fato, no vetor (x,y,z) = (0,0,0) temos
y - z = 0 - 0 = 0,
e isso coincide com x = 0. Logo (0,0,0)in W.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tome dois vetores quaisquer em W,
u = (x1,y1,z1), v = (x2,y2,z2),
sujeitos a y1 - z1 = x1 e y2 - z2 = x2. Então
u+v = (x1 + x2,;y1 + y2,;z1 + z2)
Para ver se u+vin W, calculamos
(y1 + y2) - (z1 + z2) = (y1 - z1) + (y2 - z2) = x1 + x2,
que é exatamente a primeira coordenada de u+v. Assim u+v satisfaz a condição e pertence a W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja u = (x,y,z)in W com y - z = x e alphainR. Então
alpha u = (alpha x,;alpha y,;alpha z)
Verificamos a condição em alpha u:
alpha y - alpha z = alpha,(y - z) = alpha x,
que é a primeira coordenada de alpha u. Logo alpha uin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três condições de subespaço (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar). Portanto, W é um subespaço de R^3.

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