Em cada item, verifique que o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
em
V=R^5 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço de
V=R^5 .
O conteúdo é “subespaço de espaço vetorial” e vamos usar o critério padrão:
O conteúdo é “subespaço de espaço vetorial” e vamos usar o critério padrão:
- verificar que o vetor zero está em
;W -
fechado sob soma;W -
fechado sob multiplicação por escalar.W
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo
(0,0,0,0,0) satisfaz todas as equações definidoras de
W . De fato,
Como todas são verdadeiras,
(0,0,0,0,0)in W , logo
Wneqvarnothing .
Passo 3
Sejam
u=(x1,y1,z1,t1,r1) e
v=(x2,y2,z2,t2,r2) em
W . Então cada um satisfaz as três equações:
para
i=1,2 . Somando equação a equação obtemos para
u+v=(x1+x2,dots,r1+r2) :
Logo
u+v também satisfaz as três equações, ou seja,
u+vin W .
Passo 4
Seja
u=(x,y,z,t,r)in W e
alphainR . Como
multiplicando tudo por
alpha temos
Ou seja,
alpha u=(alpha x,alpha y,alpha z,alpha t,alpha r) também satisfaz as três equações, logo
alpha uin W .
Resposta
Concluímos que
W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto,
W é subespaço de
R^5 .