Em cada item, verifique que o conjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
W=(x, y, z, t, r):clcy-z & = & x x-r & = & 4 t-2 z z-x-8 y & = & t em V=R^5.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = (x,y,z,t,r)in R^5 mid y - z = x, x - r = 4t - 2z, z - x - 8y = t
é um subespaço de V=R^5.
O conteúdo é “subespaço de espaço vetorial” e vamos usar o critério padrão:
  1. verificar que o vetor zero está em W;
  2. W fechado sob soma;
  3. W fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo (0,0,0,0,0) satisfaz todas as equações definidoras de W. De fato,
0 - 0 = 0, 0 - 0 = 4cdot 0 - 2cdot 0, 0 - 0 - 8cdot 0 = 0
Como todas são verdadeiras, (0,0,0,0,0)in W, logo Wneqvarnothing.

Passo 3

Sejam u=(x1,y1,z1,t1,r1) e v=(x2,y2,z2,t2,r2) em W. Então cada um satisfaz as três equações:
yi - zi = xi, xi - ri = 4ti - 2zi, zi - xi - 8yi = ti,
para i=1,2. Somando equação a equação obtemos para u+v=(x1+x2,dots,r1+r2):
(y1+y2)-(z1+z2)=x1+x2,
(x1+x2)-(r1+r2)=4(t1+t2)-2(z1+z2),
(z1+z2)-(x1+x2)-8(y1+y2)=t1+t2
Logo u+v também satisfaz as três equações, ou seja, u+vin W.

Passo 4

Seja u=(x,y,z,t,r)in W e alphainR. Como
y - z = x, x - r = 4t - 2z, z - x - 8y = t,
multiplicando tudo por alpha temos
alpha y - alpha z = alpha x, alpha x - alpha r = 4(alpha t) - 2(alpha z), alpha z - alpha x - 8(alpha y) = alpha t
Ou seja, alpha u=(alpha x,alpha y,alpha z,alpha t,alpha r) também satisfaz as três equações, logo alpha uin W.

Resposta

Concluímos que W contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar. Portanto, W é subespaço de R^5.

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