Em cada item verifique se a função f é contínua, justificando sua resposta: f(x, y)=c3 y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2 x+1)^3, se (x, y) neq(-1,0) 0, se (x, y)=(-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para testar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=
3y^4(x+1)^4(y^4+x^2+2x+1)^3,&se (x,y)neq(-1,0) 0,&se (x,y)=(-1,0)
Conteúdo: continuidade e limites em R^2. Vamos usar o teste de continuidade: f é contínua onde é quociente de polinômios com denominador não nulo, e analisar o ponto especial (-1,0) via limite.

Passo 2

Para (x,y)neq(-1,0), temos
f(x,y)=3y^4(x+1)^4(y^4+(x+1)^2)^3,
o que é composição de polinômios e raiz de potência, logo contínua em todo ponto salvo onde o denominador se anula. Mas y^4+(x+1)^2>0 para todo (x,y)neq(-1,0). Portanto f é contínua em R^2setminus(-1,0).

Passo 3

No ponto (-1,0), f (-1,0)=0. Precisamos ver se

é também zero. Se esse limite existir e for diferente de 0, haverá descontinuidade.

Passo 4

Fazendo a mudança
(-1,0)
a vizinhança de (u,v)to(0,0) vira f=3v^4u^4(v^4+u^2)^3, e
$$
f=\frac{3v{4}u{4}}{(v{4}+u{2})^{3}}. u=t^2, v=t
f=\frac{3,t{4},(t{2}){4}}{(t{4}+t{4}){3}}=
\frac{3,t{12}}{(2t{4}){3}}=\frac{3,t{12}}{8,t^{12}}=\frac{3}{8}.
$$
Isso mostra que o limite ao longo dessa curva vale f=3,t^4,(t^2)^4(t^4+t^4)^3= 3,t^12(2t^4)^3=3,t^128,t^12=38 , não zero.

Passo 5

Como o limite depende do caminho e não coincide com f (-1,0)=0, f não é contínua em (-1,0).

Resposta

f é contínua em todos os pontos (x,y)neq(-1,0) e descontínua em (-1,0).

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