Em cada item verifique se a função é contínua, justificando sua resposta: .
Passo 1
O enunciado pede para testar a continuidade da função de duas variáveis
f(x,y)=
Conteúdo: continuidade e limites em R^2. Vamos usar o teste de continuidade: f é contínua onde é quociente de polinômios com denominador não nulo, e analisar o ponto especial (-1,0) via limite.
Passo 2
Para (x,y)neq(-1,0), temos
f(x,y)=3y^4(x+1)^4(y^4+(x+1)^2)^3,
o que é composição de polinômios e raiz de potência, logo contínua em todo ponto salvo onde o denominador se anula. Mas y^4+(x+1)^2>0 para todo (x,y)neq(-1,0). Portanto f é contínua em R^2setminus(-1,0).
Passo 3
No ponto (-1,0), f(-1,0)=0. Precisamos ver se
é também zero. Se esse limite existir e for diferente de 0, haverá descontinuidade.
Passo 4
Fazendo a mudança (-1,0)
a vizinhança de (u,v)to(0,0) vira f=3v^4u^4(v^4+u^2)^3, e