Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y: z=ln ((e^x+y^2)^2+x^2+y).

Passo 1

O enunciado pede pra gente escrever z como composição de funções e achar ∂z/∂x e ∂z/∂y. O conteúdo é derivadas parciais usando regra da cadeia, e vamos precisar identificar funções intermediárias e aplicar as derivadas em cada camada.

Passo 2

Primeiro a gente define as funções intermediárias pra mostrar a composição: seja u(x,y)=e^x+y^2, em seguida w(u,x,y)=u^2+x^2+y e finalmente z(w)=ln(w). Assim temos z(x,y)=z(w(u(x,y),x,y)).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada função:
Derivada de z em relação a w:
dzdw=1w

Passo 4

Derivada de w em relação a u, x e y:
partial wpartial u=2u, partial wpartial x=2x, partial wpartial y=1

Passo 5

Derivada de u em relação a x e y:
partial upartial x=e^x+y^2=u, partial upartial y=2y,e^x+y^2=2y,u

Passo 6

Agora aplicamos a regra da cadeia para partial zpartial x:
partial zpartial x=dzdwl(partial wpartial upartial upartial x+partial wpartial xr) =1wl(2ucdot u+2xr) =2u^2+2xw

Passo 7

E para partial zpartial y:
partial zpartial y=dzdwl(partial wpartial upartial upartial y+partial wpartial yr) =1wl(2ucdot2y u+1r) =4y,u^2+1w

Passo 8

Por fim, voltamos às expressões originais: u^2=(e^x+y^2)^2=e^2(x+y^2) e w=(e^x+y^2)^2+x^2+y=e^2(x+y^2)+x^2+y.

Resposta

partial zpartial x=2e^2(x+y^2)+2xe^2(x+y^2)+x^2+y, partial zpartial y=4y,e^2(x+y^2)+1e^2(x+y^2)+x^2+y

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