Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
a) y^prime prime+y=f(t) ; y(0)=0, y^prime(0)=1 ; f(t)= 1, & 0 <= t= pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''+y=f(t) com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1 e forçamento por partes f(t)=1 em [0,pi/2) e 0 em [pi/2,infty). Vamos usar solução homogênea e particular em cada intervalo e depois juntar aplicando continuidade.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea associada y''+y=0. A solução geral é
yh(t)=C1cos t + C2sin t
onde C1 e C2 são constantes.

Passo 3

Na região 0<= t temos f(t)=1. Buscamos uma solução particular constante yp=A. Substituindo em y''+y=1
0 + A = 1
logo A=1. Assim a solução geral para este trecho é y1(t)=C1cos t + C2sin t + 1.

Passo 4

Aplicando as condições iniciais em t=0:
y1(0)=C1 + 1 = 0 implies C1=-1,
y1'(t) = -C1sin t + C2cos t implies y1'(0)=C2 = 1 implies C2=1
Então para y1(t) = -cos t + sin t + 1 temos

Passo 5

Para t>= pi/2 o forçamento é zero, voltamos à homogênea e escrevemos
y2(t)=Acos t + Bsin t

Passo 6

Impondo continuidade de y e y' em t=pi/2: primeiro
y1(pi/2)= -cos(pi/2)+sin(pi/2)+1 = 2,
y1'(pi/2)=sin(pi/2)+cos(pi/2)=1
Então
y2(pi/2)=B=2,
y2'(pi/2)=-Asin(pi/2)+Bcos(pi/2) = -A = 1 implies A=-1

Passo 7

Agora temos as expressões y1(t) para 0<= t e y2(t) para t>=pi/2, com os coeficientes determinados, basta juntar em uma solução por partes.

Resposta

y(t)= -cos t + sin t + 1, & 0 <= t < pi2, -cos t + 2sin t, & t >= pi2

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