Em cada item, verifique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justificando sua resposta.
, em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função por partes:
se
e
se
. O conteúdo é derivabilidade em ponto de mudança de definição, e vamos precisar verificar primeiro continuidade em
e depois comparar as derivadas laterais em
.
Passo 2
Para testar continuidade em
calculamos o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função. Pela esquerda temos
Pela direita temos
E o valor
também é dado pela parte
:
Como todos são iguais,
é contínua em
.
Passo 3
Para verificar derivabilidade, derivamos cada ramo. No ramo de
temos
e o limite da derivada pela esquerda em
é
No ramo de
temos
e o limite da derivada pela direita em
é
Como as derivadas laterais coincidem (ambas são
),
é derivável em
.
Resposta
A função é derivável em
, pois é contínua lá e tem derivadas laterais iguais (ambas
).