Em cada item, verifique se a função dada é derivável nos pontos referidos, justificando sua resposta.
f(x)=l-x^2-x+4, se x <= 1 x^3-3 x^2+4, se x>1, em x=1.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes: f(x)= -x^2 - x + 4 se x<=1 e f(x)= x^3 -3x^2 +4 se x>1. O conteúdo é derivabilidade em ponto de mudança de definição, e vamos precisar verificar primeiro continuidade em x=1 e depois comparar as derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Para testar continuidade em x=1 calculamos o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função. Pela esquerda temos
limxto1^-f(x)= -1^2 -1 +4 = 2
Pela direita temos
limxto1^+f(x)= 1^3 -3cdot1^2 +4 = 2
E o valor f(1) também é dado pela parte x<=1:
f(1)= -1^2 -1 +4 =2
Como todos são iguais, f é contínua em x=1.

Passo 3

Para verificar derivabilidade, derivamos cada ramo. No ramo de x<=1 temos
f'(x)=ddx(-x^2 - x +4)= -2x -1,
e o limite da derivada pela esquerda em x=1 é
limxto1^-f'(x)= -2cdot1 -1 = -3
No ramo de x>1 temos
f'(x)=ddx(x^3 -3x^2 +4)= 3x^2 -6x,
e o limite da derivada pela direita em x=1 é
limxto1^+f'(x)= 3cdot1^2 -6cdot1 = -3
Como as derivadas laterais coincidem (ambas são -3), f é derivável em x=1.

Resposta

A função é derivável em x=1, pois é contínua lá e tem derivadas laterais iguais (ambas -3).

Exercícios relacionados