Os termos de determinada série são definidos recursivamente pelas equações:
Calcule o limite:
square
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma sequência onde cada termo $ a_n $ depende do anterior. A matéria que vamos usar aqui é limites de sequências e progressões recursivas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o limite de uma razão entre termos consecutivos da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência recursiva. Aqui, a regra para achar o próximo termo $ a_{n+1} $ depende do termo anterior $ a_n $. A fórmula dada é:
an+1
Queremos encontrar o limite $ L $ quando $ n $ vai para o infinito da razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $.
Passo 3
Vamos analisar a razão:
an+1an = 3n + 3n + 4
Para encontrar o limite $ L $, precisamos calcular:
L
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Quando $ n $ é muito grande, os termos constantes (como 3 e 4) ficam menos importantes. Então, focamos nos termos de maior grau:
n
Passo 5
Para ter certeza, vamos dividir numerador e denominador por $ n $:
n
Quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{3}{n} $ e $ \frac{4}{n} $ vão para zero: