Calcule o comprimento da curva gamma(t)=(2 cos t, 2 sen t, 2 e^-t), t in[0, pi].

Passo 1

O exercício pede o comprimento de arco da curva gamma(t)=(2cos t,,2sin t,,2e^-t) para tin[0,pi]. O conteúdo é comprimento de curva em R^3 e vamos usar a fórmula
L=integrala^b |gamma'(t)|,dt

Passo 2

Primeiro, computar a derivada componente a componente:
gamma'(t)=(-2sin t,;2cos t,;-2e^-t)
Usamos as regras básicas de derivação de cos t, sin t e de exponencial.

Passo 3

Agora, calcular a norma da derivada:
|gamma'(t)|=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2+(-2e^-t)^2 =raiz4(sin^2t+cos^2t)+4e^-2t =2raiz1+e^-2t

Passo 4

Montar o integral do comprimento:
L=integral0^pi 2raiz1+e^-2t,dt

Passo 5

Para integrar, f a subtituição x=e^-t, então dx=-e^-tdt=-x,dt, e os limites vão de x(0)=1 até x(pi)=e^-pi. Isso transforma
L=2integral0^piraiz1+e^-2t,dt =2integral1^e^-piraiz1+x^2,-dxx =2integrale^-pi^1raiz1+x^2x,dx
A primitiva conhecida é
integralraiz1+x^2x,dx=raiz1+x^2-lnl(1+raiz1+x^2xr)+C

Passo 6

Aplicando os limites em x=e^-pi a 1:
L=2l[l(raiz2-ln(1+raiz2)r)-l(raiz1+e^-2pi-lnl(tfrac1+raiz1+e^-2pie^-pir)r)r]
e simplificando o logaritmo, chegamos a
L=2raiz2-2raiz1+e^-2pi-2pi+2ln!l(tfrac1+raiz1+e^-2pi1+raiz2r)

Resposta

O comprimento da curva é
L=2raiz2-2raiz1+e^-2pi-2pi+2lnl(1+raiz1+e^-2pi1+raiz2r)

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