Calcule o comprimento da curva
.
Passo 1
O exercício pede o comprimento de arco da curva
para
. O conteúdo é comprimento de curva em
e vamos usar a fórmula
Passo 2
Primeiro, computar a derivada componente a componente:
Usamos as regras básicas de derivação de
,
e de exponencial.
Passo 3
Agora, calcular a norma da derivada:
Passo 4
Montar o integral do comprimento:
Passo 5
Para integrar, f a subtituição
, então
, e os limites vão de
até
. Isso transforma
A primitiva conhecida é
Passo 6
Aplicando os limites em
a
:
e simplificando o logaritmo, chegamos a
Resposta
O comprimento da curva é