x^3-2 x-4x-2
Fatorando o numerador e simplificando a fração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a expressão x^3-2x-4x-2. Nosso objetivo aqui é fatorar o numerador x^3-2x-4 e depois simplificar a fração. Para isso, vamos usar conhecimentos de fatoração de polinômios e divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se x - 2 é um fator do numerador x^3-2x-4. Para isso, vamos substituir x = 2 na expressão do numerador:
(2)^3 - 2(2) - 4 = 8 - 4 - 4 = 0
Como o resultado é zero, sabemos que x - 2 é realmente um fator do numerador. Isso significa que podemos escrever x^3-2x-4 como (x - 2)(ax^2 + bx + c), onde a, b e c são números que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a, b e c. Vamos expandir (x - 2)(ax^2 + bx + c):
x cdot ax^2 = a x^3
x cdot bx = b x^2
x cdot c = c x
-2 cdot ax^2 = -2a x^2
-2 cdot bx = -2b x
-2 cdot c = -2c
Somando tudo:
a x^3 + (b - 2a) x^2 + (c - 2b) x - 2c
Essa expressão deve ser igual a x^3 - 2x - 4. Então, vamos comparar os coeficientes:
a = 1 (coeficiente de x^3)
b - 2a = 0 (coeficiente de x^2)
c - 2b = -2 (coeficiente de x)
-2c = -4 (termo constante)

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações:
  1. a = 1
  2. b - 2(1) = 0 Rightarrow b = 2
  3. c - 2(2) = -2 Rightarrow c = 2
  4. -2c = -4 Rightarrow c = 2 (confirmação)
Então, os valores são a = 1, b = 2 e c = 2.

Passo 5

Agora que temos os valores, podemos escrever o numerador fatorado:
x^3 - 2x - 4 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)

Passo 6

Agora, voltamos à fração original:
x^3-2x-4x-2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 2)x - 2
Podemos simplificar cancelando o fator x - 2 que está no numerador e no denominador:
(x - 2)(x^2 + 2x + 2)x - 2 = x^2 + 2x + 2

Resposta

A fração simplificada é x^2 + 2x + 2.

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