Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço esteja sendo medida por T(x, y, z)=x e^-x y z e que um pernilongo que esteja localizado no ponto ( 1,1,0 ).
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?

Passo 1

O enunciado pede para achar a direção em que a temperatura cresce mais rápido num ponto dado e a taxa dessa variação. O conteúdo que vamos usar é o gradiente de uma função de várias variáveis e derivada direcional, pois o gradiente aponta a direção de máximo crescimento.

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais de T(x,y,z)=x e^-xyz. Pela regra do produto e da cadeia temos:
partial Tpartial x=e^-xyz+xl(-yzr)e^-xyz=e^-xyzl(1-xyzr),
partial Tpartial y=xl(-xzr)e^-xyz=-x^2z,e^-xyz,
$$\frac{\partial T}{\partial z}=x\bigl(-xy\bigr)e{-xyz}=-x2y,e^{-xyz}.
$$

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em (1,1,0). Como e^-1cdot1cdot0=1, obtemos
partial Tpartial x(1,1,0)=1-1cdot1cdot0=1,
partial Tpartial y(1,1,0)=-1^2cdot0=0,
$$\frac{\partial T}{\partial z}(1,1,0)=-1^2\cdot1=-1.
$$
Logo partial Tpartial z(1,1,0)=-1^2cdot1=-1 .

Passo 4

A direção de maior aquecimento é a do vetor gradiente normalizado. Calculamos a norma de (1,0,-1):
|nabla T|=raiz1^2+0^2+(-1)^2=raiz2
O vetor unitário fica
u=1raiz2(1,0,-1)

Passo 5

A taxa de variação máxima da temperatura nessa direção é justamente o módulo do gradiente em (1,1,0), que é raiz2.

Resposta

O pernilongo deve voar na direção do vetor unitário l(tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r), e a taxa de variação da temperatura nessa direção é raiz2.

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