Suponha que a temperatura num ponto
do espaço esteja sendo medida por
e que um pernilongo que esteja localizado no ponto (
).
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?
Passo 1
O enunciado pede para achar a direção em que a temperatura cresce mais rápido num ponto dado e a taxa dessa variação. O conteúdo que vamos usar é o gradiente de uma função de várias variáveis e derivada direcional, pois o gradiente aponta a direção de máximo crescimento.
Passo 2
Precisamos calcular as derivadas parciais de
. Pela regra do produto e da cadeia temos:
$$\frac{\partial T}{\partial z}=x\bigl(-xy\bigr)e{-xyz}=-x2y,e^{-xyz}.
$$
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas em
. Como
, obtemos
$$\frac{\partial T}{\partial z}(1,1,0)=-1^2\cdot1=-1.
$$
Logo .
Logo
Passo 4
A direção de maior aquecimento é a do vetor gradiente normalizado. Calculamos a norma de
:
O vetor unitário fica
Passo 5
A taxa de variação máxima da temperatura nessa direção é justamente o módulo do gradiente em
, que é
.
Resposta
O pernilongo deve voar na direção do vetor unitário
, e a taxa de variação da temperatura nessa direção é
.