Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(b) partial^2 zpartial y^2=alpha^2 partial^2 zpartial x^2, z=sen(k x) sen(alpha k y), em que k, alpha in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função z=sin(kx),sin(alpha k y) satisfaz a equação diferencial parcial de segunda ordem
partial^2 zpartial y^2=alpha^2partial^2 zpartial x^2
Estamos trabalhando com derivadas parciais de uma função produto em variáveis independentes, usando que k e alpha são constantes.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em relação a y. Primeiro derivamos uma vez:
partial zpartial y=sin(kx)cdotl(alpha kcos(alpha k y)r)=alpha ksin(kx)cos(alpha k y)
Agora derivamos de novo em y:
partial^2 zpartial y^2=alpha ksin(kx)cdotl(-alpha ksin(alpha k y)r)=-alpha^2 k^2sin(kx)sin(alpha k y)=-alpha^2 k^2 z

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais em relação a x. Primeira derivada:
partial zpartial x=l(kcos(kx)r)sin(alpha k y)=kcos(kx)sin(alpha k y)
Segunda derivada:
partial^2 zpartial x^2=kl(-ksin(kx)r)sin(alpha k y)=-k^2sin(kx)sin(alpha k y)=-k^2 z

Passo 4

Para verificar a equação, multiplicamos partial^2 zpartial x^2 por alpha^2:
alpha^2partial^2 zpartial x^2=alpha^2(-k^2 z)=-alpha^2 k^2 z
Comparando com
partial^2 zpartial y^2=-alpha^2 k^2 z
vemos que ambos são iguais, logo a função satisfaz a PDE.

Passo 5

Concluímos que a igualdade
partial^2 zpartial y^2=alpha^2partial^2 zpartial x^2
é atendida pela função dada.

Resposta

A função z=sin(kx),sin(alpha k y) satisfaz a equação partial^2 zpartial y^2=alpha^2partial^2 zpartial x^2, logo é solução.

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