Considere a função
.
Informações:
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(d) Obtenha seus pontos críticos e indique onde a função é crescente ou decrescente.
Nota:
(d) Obtenha seus pontos críticos e indique onde a função é crescente ou decrescente.
Nota:
Passo 1
A questão pede para achar os pontos críticos de
e estudar onde ela cresce ou decresce, usando as derivadas de primeira e segunda dadas.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio de está sempre definido, mas o denominador
zera em
. Logo, o domínio é
Passo 3
Para usar
, simplificamos a raiz interna:
então
A derivada informada é
Como
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
(numerador zero) ou de onde
não existe. Numerador zero em
, mas
não está no domínio.
não existe em
, que já foram excluídos. Logo os pontos críticos válidos são:
Passo 5
Para ver onde
é positiva ou negativa, notamos que o denominador
em todo o domínio. Então o sinal de
é o oposto do sinal de
Como (\frac{x-1}{|x-1|}=
-
-
-
-
Passo 6
Concluímos então a monotonicidade e classificamos os críticos:
- Crescente em e
. - Decrescente em .
Emhá troca de crescente para decrescente (máximo local) e em de decrescente para crescente (mínimo local).
Resposta
Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local).
Função crescente em e ; decrescente em .
Função crescente em e