Considere a função f(x)=raiz2 x^4(2 x^2-4 x+2)(x-2)(x^2-1).

Informações:

  • f^prime(x)=-2 x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2 raizx^2-2 x+1
  • f^prime prime(x)=4 raizx^2-2 x+1(x^3+6 x^2+4)(x-2)^3(x-1)(x+1)^3
    (d) Obtenha seus pontos críticos e indique onde a função é crescente ou decrescente.
    Nota: square

Passo 1

A questão pede para achar os pontos críticos de
f(x)=raiz2x^4,(2x^2-4x+2)(x-2)(x^2-1)
e estudar onde ela cresce ou decresce, usando as derivadas de primeira e segunda dadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de está sempre definido, mas o denominador f> O numerador (raiz2x^4(2x^2-4x+2) zera em (x-2)(x^2-1)=(x-2)(x-1)(x+1). Logo, o domínio é
x=2,1,-1

Passo 3

Para usar f'(x), simplificamos a raiz interna:
2x^4(2x^2-4x+2)=4x^4(x-1)^2,
então
raiz2x^4(2x^2-4x+2)=2x^2|x-1|
A derivada informada é
f'(x)=-2x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2raizx^2-2x+1
Como raizx^2-2x+1=|x-1|, podemos escrever
f'(x)=-2x(x-1)(x+4)(x-2)^2(x+1)^2|x-1|

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 (numerador zero) ou de onde f' não existe. Numerador zero em x=0,1,-4, mas x=1 não está no domínio. f' não existe em x=-1,1,2, que já foram excluídos. Logo os pontos críticos válidos são:
x=-4e x=0

Passo 5

Para ver onde f' é positiva ou negativa, notamos que o denominador
(x-2)^2(x+1)^2|x-1|>0 em todo o domínio. Então o sinal de f' é o oposto do sinal de
x(x-1)(x+4)/|x-1|
Como (\frac{x-1}{|x-1|}= +1,&x>1-1,&x<1,] basta analisar os sinais em cada intervalo:
- (-inf,-4): x< -4 dá produto negativo, e o menos na frente torna f'>0.
- (-4,-1) e (-1,0): produto positivo, logo f'<0.
- (0,1): produto negativo, logo f'>0.
- (1,2) e : produto positivo, logo (2,+u007finf).

Passo 6

Concluímos então a monotonicidade e classificamos os críticos:
  • Crescente em e (-u007finf,-4).
  • Decrescente em .
    Em (0,1) há troca de crescente para decrescente (máximo local) e em (-4,-1),(-1,0),(1,2),(2,+u007finf) de decrescente para crescente (mínimo local).

Resposta

Pontos críticos: x=-4 (máximo local) e x=0 (mínimo local).
Função crescente em e (-u007finf,-4); decrescente em .

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