Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(a) partial zpartial y=alpha^2 partial^2 zpartial x^2, z=e^-alpha^2 k^2 y sen(k x), em que k, alpha in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função z=e^-alpha^2k^2ysin(kx) satisfaz a equação diferencial parcial partial zpartial y=alpha^2partial^2zpartial x^2. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Vamos calcular partial zpartial y. Como z=e^-alpha^2k^2ysin(kx), ao derivar em relação a y só o expoente depende de y:
partial zpartial y=(-alpha^2k^2)e^-alpha^2k^2ysin(kx)

Passo 3

Agora calculamos partial^2zpartial x^2. Primeiro derivamos em x:
partial zpartial x=e^-alpha^2k^2ycdot kcos(kx)
Derivando de novo em x:
partial^2zpartial x^2=e^-alpha^2k^2ycdot(-k^2)sin(kx)=-k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)

Passo 4

Multiplicando por alpha^2 temos
alpha^2partial^2zpartial x^2=-alpha^2k^2e^-alpha^2k^2ysin(kx)
que coincide exatamente com partial zpartial y. Portanto a igualdade da PDE vale.

Resposta

A igualdade partial zpartial y=alpha^2partial^2zpartial x^2 é satisfeita, logo a função dada é solução da equação diferencial parcial.

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