Considere a região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenadas e pela curva f(x)=cos (x), 0 <= x <= pi2.
Encontre o volume do sólido de revolução
gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x.

Passo 1

A região está no primeiro quadrante, limitada pelos eixos coordenados e pela curva y=cos(x) para 0≤x≤π/2. Queremos o volume gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x, usando o método dos discos e a integração de funções trigonométricas.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada seção em x tem raio y=cos(x). Logo o volume é dado por
V=πintegral0^π/2[cos(x)]^2,dx

Passo 3

Para integrar cos²(x), usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2(x)=1+cos(2x)2
Então
integral0^π/2cos^2(x),dx=integral0^π/21+cos(2x)2,dx=[x2+sin(2x)4]0^π/2

Passo 4

Avaliando em 0 e π/2:
(π/22+sin(π)4)-(0+sin(0)4)=π4
Portanto,
V=πcdotπ4=π^24

Resposta

π^24

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