Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
. Vamos usar identidade trigonométrica para reduzir
e depois integrar term por term.
Passo 2
Usamos a identidade de ângulo duplo:
. Aqui
, então
Passo 3
Logo a integral fica
Passo 4
Agora integramos cada parte. Sabemos que
e, para
. Aqui
, logo
Passo 5
Substituindo de volta:
Passo 6
Avalia em
e
:
Passo 7
Como
, segue
$$I=\frac{\pi}{4}-\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}.
$$