Calcule as integrais.
integral0^pi2 sen^2(13 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi2sin^2l(tfracx3r),dx. Vamos usar identidade trigonométrica para reduzir sin^2(u) e depois integrar term por term.

Passo 2

Usamos a identidade de ângulo duplo: sin^2(u)=tfrac1-cos(2u)2. Aqui u=tfracx3, então
sin^2l(tfracx3r)=1-cosl(2cdottfracx3r)2=1-cosl(tfrac2x3r)2

Passo 3

Logo a integral fica
I=integral0^pi2sin^2l(tfracx3r)dx=12integral0^pi2dx;-12integral0^pi2cosl(tfrac2x3r)dx

Passo 4

Agora integramos cada parte. Sabemos que integral dx=x e, para integralcos(a x)dx=tfrac1asin(a x). Aqui a=tfrac23, logo
integralcosl(tfrac2x3r)dx=32sinl(tfrac2x3r)

Passo 5

Substituindo de volta:
I=[x2-12cdot32sinl(tfrac2x3r)]0^pi2=[x2-34sinl(tfrac2x3r)]0^pi2

Passo 6

Avalia em x=tfracpi2 e x=0:
I=l(pi/22-34sinl(tfrac23cdottfracpi2r)r)-l(0-0r)=pi4-34sinl(tfracpi3r)

Passo 7

Como sinl(tfracpi3r)=tfracraiz32, segue
$$I=\frac{\pi}{4}-\frac{3}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{8}.
$$

Resposta

pi4-3raiz38

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