Em cada item, verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado. Em seguida, calcule cada um desses limites:
a) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x-2}{x^{3}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede que, para o limite
\lim_{x\to 1}\frac{2x-2}{x^{3}+x-2},
você verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável e, em seguida, calcule o limite. Informações dadas e observações imediatas:
  • O numerador é \;2x-2\;.
  • O denominador é \;x^{3}+x-2\;.
  • Ao substituir x=1 diretamente temos \;2\cdot1-2=0\; no numerador e \;1^{3}+1-2=0\; no denominador, ou seja, a forma é \;0/0\;, que é uma forma indeterminada.
  • Pergunta: “A regra de L’Hôpital é aplicável?” e “Qual é o valor do limite?”

Passo 2

O que diz a regra de L’Hôpital (em termos simples e práticos):
  • Se \;f(x) e \;g(x) são funções que são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto a (exceto possivelmente em a mesmo), e se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambas tendem a \pm\infty), então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), temos
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Requisitos essenciais: forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty; existência das derivadas próximas de a; e existência do limite da razão das derivadas.

Passo 3

Verificação das condições para aplicar L’Hôpital ao nosso caso:
  • Já vimos que \lim_{x\to 1}(2x-2)=0 e \lim_{x\to 1}(x^{3}+x-2)=0, logo temos a forma \;0/0\;.
  • Tanto \;2x-2\; quanto \;x^{3}+x-2\; são polinômios, e polinômios são diferenciáveis em todo lugar. Então as derivadas existem numa vizinhança de x=1.
  • Portanto, as hipóteses da regra de L’Hôpital estão satisfeitas e a regra é aplicável.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital: calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
  • Derivada do numerador \;2x-2\; é
(2x-2)' = 2.
Aqui eu usei a regra básica: a derivada de \;ax+b\; é \;a\;.
  • Derivada do denominador \;x^{3}+x-2\; é
(x^{3}+x-2)' = 3x^{2}+1.
Usei a regra potência: a derivada de \;x^{3}\; é \;3x^{2}, e de \;x\; é \;1.
  • Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 1}\frac{2x-2}{x^{3}+x-2} = \lim_{x\to 1}\frac{2}{3x^{2}+1}.
  • Agora substituímos x=1 na razão das derivadas (a expressão é contínua em 1):
\frac{2}{3\cdot 1^{2}+1} = \frac{2}{3+1} = \frac{2}{4}.

Passo 5

Solução alternativa (mais elementar) por fatoração — útil em prova quando se quer evitar cálculo de derivadas:
  • Observação: se x=1 zera o polinômio x^{3}+x-2, então (x-1) é fator do polinômio (Teorema do Resto/Fator).
  • Fazendo a divisão ou usando fatoração direta, temos
x^{3}+x-2 = (x-1)(x^{2}+x+2).
Verificação rápida: (x-1)(x^{2}+x+2) = x^{3}+x-2.
  • Então, para x\neq 1,
\frac{2x-2}{x^{3}+x-2} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+2)} = \frac{2}{x^{2}+x+2}.
  • Agora fazemos x\to 1 na expressão simplificada (já sem indeterminação):
\frac{2}{1^{2}+1+2} = \frac{2}{4}.
  • Essa alternativa dá o mesmo resultado e costuma ser mais rápida numa prova quando as funções são polinomiais.

Passo 6

Conclusão e nota motivadora:
  • A regra de L’Hôpital era aplicável porque obtivemos a forma \;0/0\; e as funções são diferenciáveis.
  • Tanto aplicando L’Hôpital quanto simplificando algebricamente chegamos ao mesmo valor final. Continua firme — essa técnica de checar indeterminações e tentar fatorar polinômios costuma resolver muitos limites sem muita dor!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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