Em cada item, verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado. Em seguida, calcule cada um desses limites:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede que, para o limite
você verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável e, em seguida, calcule o limite. Informações dadas e observações imediatas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao substituir
diretamente temos no numerador e no denominador, ou seja, a forma é , que é uma forma indeterminada. - Pergunta: “A regra de L’Hôpital é aplicável?” e “Qual é o valor do limite?”
Passo 2
O que diz a regra de L’Hôpital (em termos simples e práticos):
- Se
e são funções que são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente em mesmo), e se e (ou ambas tendem a ), então, se o limite
existe (ou é
), temos
- Requisitos essenciais: forma indeterminada
ou ; existência das derivadas próximas de ; e existência do limite da razão das derivadas.
Passo 3
Verificação das condições para aplicar L’Hôpital ao nosso caso:
- Já vimos que
e , logo temos a forma . - Tanto
quanto são polinômios, e polinômios são diferenciáveis em todo lugar. Então as derivadas existem numa vizinhança de . - Portanto, as hipóteses da regra de L’Hôpital estão satisfeitas e a regra é aplicável.
Passo 4
Aplicando L’Hôpital: calculamos as derivadas do numerador e do denominador.
- Derivada do numerador
é
Aqui eu usei a regra básica: a derivada de
é
.
- Derivada do denominador
é
Usei a regra potência: a derivada de
é
, e de
é
.
- Pela regra de L’Hôpital,
- Agora substituímos
na razão das derivadas (a expressão é contínua em ):
Passo 5
Solução alternativa (mais elementar) por fatoração — útil em prova quando se quer evitar cálculo de derivadas:
- Observação: se
zera o polinômio , então é fator do polinômio (Teorema do Resto/Fator). - Fazendo a divisão ou usando fatoração direta, temos
Verificação rápida:
.
- Então, para
,
- Agora fazemos
na expressão simplificada (já sem indeterminação):
- Essa alternativa dá o mesmo resultado e costuma ser mais rápida numa prova quando as funções são polinomiais.
Passo 6
Conclusão e nota motivadora:
- A regra de L’Hôpital era aplicável porque obtivemos a forma
e as funções são diferenciáveis. - Tanto aplicando L’Hôpital quanto simplificando algebricamente chegamos ao mesmo valor final. Continua firme — essa técnica de checar indeterminações e tentar fatorar polinômios costuma resolver muitos limites sem muita dor!