Em cada item, verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado. Em seguida, calcule cada um desses limites:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para, primeiro, verificar se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado e, em seguida, calcular o limite. O item é:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O numerador é a função
. - O denominador é a função
. - O ponto onde o limite é tomado é
. - Precisamos decidir se a forma é indeterminada adequada para usar L’Hôpital e, caso seja, aplicar a regra para calcular o valor do limite.
Passo 2
Verificar a forma do limite: calculemos os limites separados do numerador e do denominador quando
.
O numerador tende a
O numerador tende a
O denominador tende a
Portanto a expressão tem a forma
, que é uma indeterminação do tipo que permite considerar a regra de L’Hôpital, desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas.
Passo 3
Relembrando as hipóteses (com linguagem simples): a regra de L’Hôpital pode ser usada se na vizinhança de
(exceto possivelmente em
mesmo) as funções
e
forem diferenciáveis, e
não for zero perto de
. Aqui:
-
é diferenciável para todo . -
é diferenciável em pontos onde ; em particular é diferenciável num intervalo que contém .
Logo as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a regra de L’Hôpital: substituímos o limite da razão pela razão dos derivadas (quando isso existe). Calculamos as derivadas:
- Derivada do numerador: a derivada de
é (regra da cadeia: derivada de é , aqui e ). A derivada de é . Logo
- Derivada do denominador: a derivada de
é (ou seja ). Logo
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 5
Simplificamos a expressão obtida:
dividir por é o mesmo que multiplicar por
. Assim
dividir por
Agora avaliamos o limite substituindo
(a nova expressão é contínua em
):
Passo 6
(Apenas para reforçar a intuição: outra maneira rápida de ver isso é usar séries/Taylor) Para pequenos
,
e
Portanto a razão aproxima-se de
, consistente com o resultado obtido por L’Hôpital.