Em cada item, verifique se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado. Em seguida, calcule cada um desses limites:
c) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para, primeiro, verificar se a regra de L’Hôpital é aplicável ao limite dado e, em seguida, calcular o limite. O item é:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\operatorname{tg} x}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O numerador é a função f(x)=e^{2x}-1.
  • O denominador é a função g(x)=\operatorname{tg} x.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to 0.
  • Precisamos decidir se a forma é indeterminada adequada para usar L’Hôpital e, caso seja, aplicar a regra para calcular o valor do limite.

Passo 2

Verificar a forma do limite: calculemos os limites separados do numerador e do denominador quando x\to 0.
O numerador tende a
\lim_{x\to 0} (e^{2x}-1)=e^{0}-1=1-1=0.
O denominador tende a
\lim_{x\to 0}\operatorname{tg} x=\operatorname{tg}0=0.
Portanto a expressão tem a forma \frac{0}{0}, que é uma indeterminação do tipo que permite considerar a regra de L’Hôpital, desde que as hipóteses da regra sejam satisfeitas.

Passo 3

Relembrando as hipóteses (com linguagem simples): a regra de L’Hôpital pode ser usada se na vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0 mesmo) as funções f e g forem diferenciáveis, e g'(x) não for zero perto de 0. Aqui:
  • f(x)=e^{2x}-1 é diferenciável para todo x.
  • g(x)=\operatorname{tg} x é diferenciável em pontos onde \cos x\neq 0; em particular é diferenciável num intervalo que contém 0.
    Logo as hipóteses estão satisfeitas e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital: substituímos o limite da razão pela razão dos derivadas (quando isso existe). Calculamos as derivadas:
  • Derivada do numerador: a derivada de e^{2x} é 2e^{2x} (regra da cadeia: derivada de e^{u} é e^{u}\cdot u', aqui u=2x e u'=2). A derivada de -1 é 0. Logo
f'(x)=2e^{2x}.
  • Derivada do denominador: a derivada de \operatorname{tg} x é \operatorname{sec}^2 x (ou seja \frac{1}{\cos^2 x}). Logo
g'(x)=\operatorname{sec}^2 x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\operatorname{tg} x} = \lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\operatorname{sec}^2 x}.

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida:
dividir por \operatorname{sec}^2 x é o mesmo que multiplicar por \cos^2 x. Assim
\frac{2e^{2x}}{\operatorname{sec}^2 x}=2e^{2x}\cos^2 x.
Agora avaliamos o limite substituindo x=0 (a nova expressão é contínua em 0):
\lim_{x\to 0}2e^{2x}\cos^2 x = 2\cdot e^{0}\cdot \cos^2 0 = 2\cdot 1\cdot 1^2 = 2.

Passo 6

(Apenas para reforçar a intuição: outra maneira rápida de ver isso é usar séries/Taylor) Para pequenos x,
e^{2x}-1 \approx 2x + \text{termos de ordem maior},
e
\operatorname{tg} x \approx x + \text{termos de ordem maior}.
Portanto a razão aproxima-se de \frac{2x}{x}=2, consistente com o resultado obtido por L’Hôpital.

Resposta

2

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