Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
é a tangente de
(também escrita
). A variável
tende a
. A resposta deve ser um número real (o valor do limite).
Passo 2
Vamos verificar a forma indeterminada ao substituir
diretamente:
portanto a expressão resulta em
, que é uma forma indeterminada. Isso nos permite usar a Regra de L’Hôpital (desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis em torno de
, exceto possivelmente em
mesmo).
Breve lembrete da Regra de L’Hôpital: se
e
(ou ambos
), e
e
são diferenciáveis em um intervalo aberto contendo
(exceto possivelmente em
), então, se existir,
Aqui podemos aplicar com
e
.
Passo 3
Calculemos as derivadas necessárias.
Derivada de
é simples:
Derivada de
: uma maneira direta é usar a definição
e aplicar a regra do quociente. Faço isso passo a passo:
Aplicando a regra do quociente
, com
e
, temos
e
. Então
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Portanto a derivada da tangente é
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma no limite das derivadas:
Agora avaliamos esse limite. Lembrando que
e que
, temos
Como
é contínua perto de
(o denominador
não é zero em torno de
), podemos substituir diretamente
no limite.
Passo 5
Conclusão final: o limite vale
.
(Comentário rápido e amigo: outra forma de entender intuitivamente é lembrar que, para ângulos pequenos em radianos,
comporta-se como
; por isso
. Mas a aplicação rigorosa aqui foi pela regra de L’Hôpital.)
Resposta
1