Calcule os limites abaixo, usando a regra de L’Hôpital:
f) \lim _{\theta \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg} \theta}{\theta}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{\theta\to 0} \frac{\operatorname{tg}\theta}{\theta},
onde \operatorname{tg}\theta é a tangente de \theta (também escrita \tan\theta). A variável \theta tende a 0. A resposta deve ser um número real (o valor do limite).

Passo 2

Vamos verificar a forma indeterminada ao substituir \theta=0 diretamente:
\operatorname{tg}(0)=0\quad\text{e}\quad \theta=0,
portanto a expressão resulta em \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso nos permite usar a Regra de L’Hôpital (desde que as funções envolvidas sejam diferenciáveis em torno de 0, exceto possivelmente em 0 mesmo).
Breve lembrete da Regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f e g são diferenciáveis em um intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente em a), então, se existir,
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos aplicar com f(\theta)=\operatorname{tg}\theta e g(\theta)=\theta.

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias.
Derivada de g(\theta)=\theta é simples:
g'(\theta)=1.
Derivada de f(\theta)=\operatorname{tg}\theta: uma maneira direta é usar a definição \operatorname{tg}\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} e aplicar a regra do quociente. Faço isso passo a passo:
f(\theta)=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Aplicando a regra do quociente \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}, com u(\theta)=\sin\theta e v(\theta)=\cos\theta, temos u'(\theta)=\cos\theta e v'(\theta)=-\sin\theta. Então
f'(\theta)=\frac{\cos\theta\cdot\cos\theta - \sin\theta\cdot(-\sin\theta)}{\cos^2\theta}
f'(\theta)=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos
f'(\theta)=\frac{1}{\cos^2\theta}=\operatorname{sec}^2\theta.
Portanto a derivada da tangente é \dfrac{d}{d\theta}\operatorname{tg}\theta=\operatorname{sec}^2\theta.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, o limite original se transforma no limite das derivadas:
\lim_{\theta\to 0}\frac{\operatorname{tg}\theta}{\theta} =\lim_{\theta\to 0}\frac{\operatorname{sec}^2\theta}{1} =\lim_{\theta\to 0}\operatorname{sec}^2\theta.
Agora avaliamos esse limite. Lembrando que \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta} e que \cos 0=1, temos
\operatorname{sec}^2 0=\left(\frac{1}{\cos 0}\right)^2=\left(\frac{1}{1}\right)^2=1.
Como \operatorname{sec}^2\theta é contínua perto de 0 (o denominador \cos\theta não é zero em torno de 0), podemos substituir diretamente \theta=0 no limite.

Passo 5

Conclusão final: o limite vale 1.
(Comentário rápido e amigo: outra forma de entender intuitivamente é lembrar que, para ângulos pequenos em radianos, \tan\theta comporta-se como \theta; por isso \tan\theta/\theta\to 1. Mas a aplicação rigorosa aqui foi pela regra de L’Hôpital.)

Resposta

1

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