Encontre
por derivação implícita:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar
por derivação implícita para a equação
Informações dadas:
é uma relação entre
e
. Não nos é dito que
é uma função explícita de
, então devemos tratar
como uma função implícita de
(isto é,
). A pergunta é: qual é a derivada
que satisfaz essa igualdade?
Passo 2
Ideia e regras que vou usar (explicação didática):
- Quando
depende de (ou seja, ), ao derivar uma expressão que contém em relação a usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em termos simples: para derivar uma composição fazemos . Por exemplo, derivando em relação a temos:
Aqui
é a derivada de
em
e multiplicamos por
por causa da dependência de
em
.
- Para derivar um produto de duas funções de
, usamos a regra do produto: se temos , então
No nosso caso,
é um produto:
e
. Então
Passo 3
Agora diferencial passo a passo: vamos derivar membro a membro a equação
em relação a
.
Derivada do termo
:
Derivada do termo
(usando regra da cadeia, pois
):
Portanto a derivada do lado esquerdo é
Passo 4
Derivada do lado direito
(usando regra do produto, como expliquei antes):
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados, obtemos a relação:
Agora vamos agrupar os termos que contêm
de um lado e os demais do outro lado. Subtraindo
e subtraindo
de ambos os lados:
ou reorganizando,
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Multiplicando por
os dois lados para ficar positivo no fator, obtemos
A partir daqui isolamos
dividindo ambos os lados por
.