Encontre d y / d x por derivação implícita:
a) x^{2}-y^{3}=x y

Passo 1

O enunciado pede: encontrar \dfrac{dy}{dx} por derivação implícita para a equação
x^{2}-y^{3}=x y.
Informações dadas:
x^{2}-y^{3}=x y
é uma relação entre x e y. Não nos é dito que y é uma função explícita de x, então devemos tratar y como uma função implícita de x (isto é, y=y(x)). A pergunta é: qual é a derivada \dfrac{dy}{dx} que satisfaz essa igualdade?

Passo 2

Ideia e regras que vou usar (explicação didática):
  • Quando y depende de x (ou seja, y=y(x)), ao derivar uma expressão que contém y em relação a x usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz, em termos simples: para derivar uma composição f(y(x)) fazemos f'(y)\cdot y'(x). Por exemplo, derivando y^{3} em relação a x temos:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.
Aqui 3y^{2} é a derivada de t^{3} em t=y e multiplicamos por \dfrac{dy}{dx} por causa da dependência de y em x.
  • Para derivar um produto de duas funções de x, usamos a regra do produto: se temos u(x)\,v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'\,v + u\,v'.
No nosso caso, x y é um produto: u=x e v=y(x). Então
\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot\frac{d}{dx}(y)=1\cdot y + x\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 3

Agora diferencial passo a passo: vamos derivar membro a membro a equação \;x^{2}-y^{3}=x y\; em relação a x.
Derivada do termo \;x^{2}\;:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Derivada do termo \;-y^{3}\; (usando regra da cadeia, pois y=y(x)):
\frac{d}{dx}\bigl(-y^{3}\bigr)=-\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=-3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.
Portanto a derivada do lado esquerdo é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-y^{3}\bigr)=2x-3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Derivada do lado direito \;x y\; (usando regra do produto, como expliquei antes):
\frac{d}{dx}\bigl(x y\bigr)=y + x\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados, obtemos a relação:
2x-3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx}=y + x\frac{dy}{dx}.
Agora vamos agrupar os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} de um lado e os demais do outro lado. Subtraindo x\frac{dy}{dx} e subtraindo y de ambos os lados:
2x - y -3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx}=0,
ou reorganizando,
-3y^{2}\cdot\frac{dy}{dx} - x\frac{dy}{dx} = y - 2x.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
-\bigl(3y^{2}+x\bigr)\cdot\frac{dy}{dx}=y-2x.

Passo 6

Multiplicando por -1 os dois lados para ficar positivo no fator, obtemos
\bigl(3y^{2}+x\bigr)\cdot\frac{dy}{dx}=2x-y.
A partir daqui isolamos \dfrac{dy}{dx} dividindo ambos os lados por \;3y^{2}+x\;.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{2x-y}{3y^{2}+x}

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