Em cada item, verifique se as retas dadas são concorrentes. Em caso afirmativo, encontre o ponto de interseção destas retas.
r_{1}:(x, y, z)=(3,-1,2)+t(2,-3,4), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(-1,4,-8)+t(1,-1,3), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
r_{1}:\,(x,y,z)=(3,-1,2)+t\,(2,-3,4), \quad r_{2}:\,(x,y,z)=(-1,4,-8)+s\,(1,-1,3),
e pede para verificar se elas se intersectam (concorrência). Para isso, precisamos buscar valores de t e s tais que as três coordenadas coincidam simultaneamente.

Passo 2

Igualamos as componentes de r_{1} e r_{2}, gerando o sistema
\begin{cases} 3 + 2t = -1 + s,\\\\ -1 - 3t = 4 - s,\\\\ 2 + 4t = -8 + 3s. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação obtemos
s = 3 + 2t + 1 = 4 + 2t.
Substituindo em “ y” da segunda equação:
-1 - 3t = 4 - (4 + 2t) \;\Longrightarrow\; -1 - 3t = 4 - 4 - 2t \;\Longrightarrow\; -1 - 3t = -2t \;\Longrightarrow\; -1 = t.
Logo t = -1 e
s = 4 + 2(-1) = 2.

Passo 4

Verificamos consistência na terceira equação (“ z”):
2 + 4(-1) = 2 - 4 = -2, \quad -8 + 3\cdot2 = -8 + 6 = -2.
Como ambos dão -2, o sistema é compatível e as retas se intersectam.

Passo 5

Para t = -1, o ponto em r_{1} é
(x,y,z) = \bigl(3 + 2(-1),\, -1 - 3(-1),\, 2 + 4(-1)\bigr) = (1,\,2,\,-2).

Resposta

As retas são concorrentes e o ponto de interseção é (1,\,2,\,-2).

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