Determinar o ângulo entre os seguintes pares de retas
r_{1}:(x, y, z)=(0,3,-2)+t(1,-2,1), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(4,0,-1)+t(0,1,-1), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre duas retas em \mathbb{R}^3. O conteúdo que vamos usar é a relação entre o ângulo \theta de duas retas e seus vetores diretores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2:
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|}.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores das retas: \mathbf{v}_1 = (1,-2,1) para r_1 e \mathbf{v}_2 = (0,1,-1) para r_2.

Passo 3

Calculamos o produto escalar \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = 1\cdot0 + (-2)\cdot1 + 1\cdot(-1) = -2 -1 = -3.

Passo 4

Calculamos as normas dos vetores: \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.

Passo 5

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\bigl|{-3}\bigr|}{\sqrt{6}\,\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = \frac{\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}.

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