Determinar o ângulo entre os seguintes pares de retas
r_{1}:(x, y, z)=(1,0,5)+t(\sqrt{2}, 1,-3), t \in \mathbb{R} e r_{2}:(x, y, z)=(3,2,1)+t(0,0,1), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em \mathbb{R}^3 definidas de forma paramétrica e pede o ângulo entre elas. Para resolver vamos usar o conceito de produto escalar e normas de vetores. Sabemos que, dados vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2, o ângulo \theta entre eles satisfaz
\cos\theta = \frac{\bigl|\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|}.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas:
a) Para r_{1} o vetor diretor é
\mathbf{v}_1 = (\sqrt{2},\,1,\,-3).
b) Para r_{2} o vetor diretor é
\mathbf{v}_2 = (0,\,0,\,1).

Passo 3

Calculamos o produto escalar \mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2:
\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2 = \sqrt{2}\cdot 0 + 1\cdot 0 + (-3)\cdot 1 = -3.

Passo 4

Calculamos as normas \|\mathbf{v}_1\| e \|\mathbf{v}_2\|:
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{2 + 1 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},
\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1.

Passo 5

Substituímos na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\bigl|\,\mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_2\bigr|}{\|\mathbf{v}_1\|\;\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{|{-3}|}{2\sqrt{3}\;\cdot 1} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Como \cos\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, segue que
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = 30^\circ \quad\bigl(\text{ou }\pi/6\bigr).

Resposta

\theta = 30^\circ (ou \pi/6).

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