Em cada item, verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V :
W=\{(x, x+y, y): x, y \in \mathbb{R}\}, V=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,\,x+y,\,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\}
é um subespaço de V=\mathbb{R}^3.
Para isso, vamos usar o teste padrão de subespaço, que exige:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição vetorial.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em W. Basta tomar x=0 e y=0. Então
(x,\,x+y,\,y) = (0,\,0+0,\,0) = (0,0,0),
logo (0,0,0)\in W, e W não é vazio.

Passo 3

Vamos checar a adição. Sejam
u = (x_1,\,x_1+y_1,\,y_1)\in W \quad\text{e}\quad v = (x_2,\,x_2+y_2,\,y_2)\in W.
Então
u+v = (x_1+x_2,\;(x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;y_1+y_2).
Definindo X = x_1+x_2 e Y = y_1+y_2, vemos que
u+v = (X,\;X+Y,\;Y)\in W.
Portanto, W é fechado sob adição.

Passo 4

Agora a multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e
u = (x,\,x+y,\,y)\in W.
Então
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda(x+y),\;\lambda y) = (X,\;X+Y,\;Y)
onde X=\lambda x e Y=\lambda y. Logo \lambda u\in W, e W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar, concluímos que W é, de fato, um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

W é subespaço vetorial de V=\mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados