CAS EXPERIMENT. Graphing. Write a program for graphing partial sums of the following series. Guess from the graph what f(x) the series may represent. Confirm or disprove your guess by using the Euler formulas.
\frac{1}{2}+\frac{4}{\pi^{2}}\left(\cos x+\frac{1}{9} \cos 3 x+\frac{1}{25} \cos 5 x+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série periódica de Fourier
S(x)=\frac12+\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2},
e pede para, a partir de um programa que plote as somas parciais, adivinhar a função f(x) que representa e depois confirmar com as fórmulas de Euler (coeficientes de Fourier).

Passo 2

Do gráfico das somas parciais percebe‐se uma onda triangular, mesmo, de período 2\pi, que atinge valor 1 em x=0 e x=2\pi, valor 0 em x=\pi e decresce linearmente. Em [-\pi,\pi] isso corresponde à função
f(x)=1-\frac{|x|}{\pi},\qquad |x|\le\pi,
estendida de forma 2\pi-periódica.

Passo 3

Para confirmar, calculamos os coeficientes de Fourier de f. Como f é par,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(1-\frac{x}{\pi}\Bigr)\,dx =1,
logo o termo constante na série é a_0/2=1/2. Para n\ge1,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(1-\frac{x}{\pi}\Bigr)\cos(nx)\,dx.
Fazendo a integral por partes verifica-se que a_n=0 se n é par e
a_{2k-1} =\frac{4}{\pi^2(2k-1)^2}\quad(k=1,2,\dots).

Passo 4

Juntando,
f(x)=\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx) =\frac12+\frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\bigl((2k-1)x\bigr)}{(2k-1)^2},
que coincide exatamente com a série dada.

Resposta

f(x)=1-\frac{|x|}{\pi}\quad\text{para }|x|\le\pi,
estendida com período 2\pi.

Exercícios relacionados