Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água
e a quantidade de sal
no reservatório são funções do tempo
, e portanto a concentração de sal
no reservatório é também uma função do tempo.
(a) Obtenha as expressões das funções
e
.
(b) Calcule o limite
, simplificando antes o quociente.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes
ou
a concentração está variando mais rapidamente.
(a) Obtenha as expressões das funções
(b) Calcule o limite
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes
Passo 1
O enunciado trata de um reservatório que começa com 50 L de água pura e recebe água salgada a 5 L/min com concentração de 1 g/L. Queremos modelar pelo método de mistura:
– , o volume em litros no tempo
;
– , a quantidade de sal em gramas no tempo
;
– , a concentração de sal em g/L.
Em seguida, vamos calcular a derivada pelo limite do quociente incremental e comparar sua intensidade em dois instantes.
–
–
–
Em seguida, vamos calcular a derivada
Passo 2
Como não há saída de líquido, o volume cresce só pela entrada de 5 L/min, partindo de 50 L. Logo
A entrada de sal é de
L/min×
g/L
g/min, sem saída, com
. Assim
A concentração é
Passo 3
Usamos a definição
Temos
O numerador expande para
então
Fazendo
,
Passo 4
Com
, calculamos
Como
, a concentração varia mais rapidamente em
.
Resposta
(a)
,
,
.
(b) .
(c) A concentração varia mais rapidamente em .
(b)
(c) A concentração varia mais rapidamente em