Suponha que um reservatório, inicialmente com 50 litros de água pura, comece a ser abastecido com água salgada à razão de 5 litros/min e com uma concentração de 1 grama/litro de sal. Nesse caso, o volume de água V(t) e a quantidade de sal Q(t) no reservatório são funções do tempo t \geq 0, e portanto a concentração de sal c(t) no reservatório é também uma função do tempo.
(a) Obtenha as expressões das funções V(t), Q(t) e c(t).
(b) Calcule o limite c^{\prime}(t)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c(t+h)-c(t)}{h}, simplificando antes o quociente.
(c) Usando o item anterior, decida em qual dos instantes t_{0}=10 ou t_{1}=30 a concentração está variando mais rapidamente.

Passo 1

O enunciado trata de um reservatório que começa com 50 L de água pura e recebe água salgada a 5 L/min com concentração de 1 g/L. Queremos modelar pelo método de mistura:
V(t), o volume em litros no tempo t;
Q(t), a quantidade de sal em gramas no tempo t;
c(t)=Q(t)/V(t), a concentração de sal em g/L.
Em seguida, vamos calcular a derivada c'(t) pelo limite do quociente incremental e comparar sua intensidade em dois instantes.

Passo 2

Como não há saída de líquido, o volume cresce só pela entrada de 5 L/min, partindo de 50 L. Logo
V(t)=50+5t.
A entrada de sal é de 5 L/min× 1 g/L =5 g/min, sem saída, com Q(0)=0. Assim
Q(t)=5t.
A concentração é
c(t)=\frac{Q(t)}{V(t)}=\frac{5t}{50+5t}=\frac{t}{10+t}.

Passo 3

Usamos a definição
c'(t)=\lim_{h\to0}\frac{c(t+h)-c(t)}{h}.
Temos
\frac{c(t+h)-c(t)}{h} =\frac{\frac{t+h}{t+h+10}-\frac{t}{t+10}}{h} =\frac{(t+h)(t+10)-t(t+h+10)}{h\,(t+h+10)(t+10)}.
O numerador expande para
t^2+10t+ht+10h - (t^2+th+10t)=10h,
então
\frac{c(t+h)-c(t)}{h} =\frac{10h}{h\,(t+h+10)(t+10)} =\frac{10}{(t+h+10)(t+10)}.
Fazendo h\to0,
c'(t)=\frac{10}{(t+10)^2}.

Passo 4

Com c'(t)=10/(t+10)^2, calculamos
c'(10)=\frac{10}{20^2}=\frac{1}{40}=0{,}025, \quad c'(30)=\frac{10}{40^2}=\frac{1}{160}=0{,}00625.
Como c'(10)>c'(30), a concentração varia mais rapidamente em t_{0}=10.

Resposta

(a) V(t)=50+5t, Q(t)=5t, c(t)=\dfrac{t}{10+t}.
(b) \displaystyle c'(t)=\frac{10}{(t+10)^2}.
(c) A concentração varia mais rapidamente em t_{0}=10.

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