CAS EXPERIMENT. Graphing. Write a program for graphing partial sums of the following series. Guess from the graph what f(x) the series may represent. Confirm or disprove your guess by using the Euler formulas.
2\left(\sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x+\frac{1}{5} \sin 5 x+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Fourier
S(x)=2\Bigl(\sin x+\tfrac{1}{3}\sin3x+\tfrac{1}{5}\sin5x+\cdots\Bigr)
e pede que, a partir do gráfico das somas parciais, a gente chute uma função f(x) que ela represente e, em seguida, confirme ou não esse palpite usando as fórmulas de Euler. O conteúdo aqui é reconhecimento de série de Fourier e soma de séries via exponenciais de Euler.

Passo 2

Ao plotar as somas parciais de
s_N(x)=2\sum_{k=0}^{N}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}
vê-se que, à medida que N cresce, s_N(x) se aproxima de uma onda quadrada de amplitude constante, alternando entre dois valores em cada intervalo (0,\pi) e (-\pi,0).

Passo 3

O palpite natural, sabendo de séries de Fourier com só termos ímpares de seno, é que
f(x)= \begin{cases} +\tfrac{\pi}{2},&0<x<\pi,\\\\ -\tfrac{\pi}{2},&-\pi<x<0, \end{cases}
extendida periodicamente de período 2\pi, com f(0)=f(\pm\pi)=0 (valor de Dirichlet).

Passo 4

Para confirmar, escrevemos cada termo com as exponenciais de Euler:
\sin\bigl((2k+1)x\bigr) =\frac{e^{i(2k+1)x}-e^{-i(2k+1)x}}{2i}.
Então
S(x) =2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1} =\frac{1}{i}\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\frac{e^{i(2k+1)x}}{2k+1}-\frac{e^{-i(2k+1)x}}{2k+1}\Bigr).

Passo 5

Reconhecemos a série
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{2k+1} =\frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{1+u}{1-u}\bigr), \quad |u|<1,
e aplicamos com u=e^{ix} e u=e^{-ix}. Isso dá duas funções logarítmicas que, sobre o círculo u=e^{ix}, diferem apenas por um múltiplo de i\pi.

Passo 6

Ao fazer a subtração dos dois logaritmos e extrair a parte imaginária chega-se a
S(x)= \begin{cases} +\tfrac{\pi}{2},&0<x<\pi,\\\\ -\tfrac{\pi}{2},&-\pi<x<0, \end{cases}
confirmando que a série converge à onda quadrada de amplitude \pm\pi/2.

Resposta

A série representa a função periódica de período 2\pi\) \[f(x)= \begin{cases} +\tfrac{\pi}{2},&0<x<\pi,\\\\ -\tfrac{\pi}{2},&-\pi<x<0,\\\\ 0,&x=0,\pm\pi, \end{cases}
isto é, uma onda quadrada de altura (\pm\pi/2].

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