Em cada um dos itens abaixo, calcule \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=y \vec{i}+(x+y) \vec{k}, S a superfície dada pelo gráfico de z=2-x^{2}-y^{2}, com x^{2}+y^{2} \leqslant 1, sendo \vec{n} normal apontando para cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
onde \vec{F}(x,y,z)=y\,\vec{i}+(x+y)\,\vec{k} e S é a parte do paraboloide
\displaystyle z=2-x^2-y^2 com \bigl(x^2+y^2\le1\bigr), tendo normal para cima. Vamos usar o Teorema de Stokes, que converte essa integral de superfície numa integral de linha ao longo da fronteira de S.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes,
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS =\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r},
em que C=\partial S é o círculo \{x^2+y^2=1,\;z=2-1=1\}. A orientação positiva de C vista de cima é no sentido anti-horário.

Passo 3

Parametrizamos C por
\vec{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;1\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
de modo que
d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt =\bigl(-\sin t,\;\cos t,\;0\bigr)\,dt.
Em cada ponto de C temos
\displaystyle \vec{F}(\vec{r}(t)) =\bigl(\sin t,\,0,\,\cos t+\sin t\bigr).
Logo o produto escalar é
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot d\vec{r} =\bigl(\sin t,\,0,\,\cos t+\sin t\bigr)\cdot\bigl(-\sin t,\,\cos t,\,0\bigr)\,dt =-\sin^2t\,dt.

Passo 4

Basta integrar de 0 a 2\pi:
\oint_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r} =\int_{0}^{2\pi}-\sin^2t\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt =-\bigl[\pi-0\bigr] =-\pi.

Resposta

-\pi

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