Em cada um dos itens abaixo, calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, onde \vec{n} é um vetor unitário normal exterior a S.
\vec{F}=x y \vec{i}+y z \vec{j}+z^{2} \vec{k} ; S a superfície da região Q=\left\{\(x, y, z \in \mathbb{R}^{3}: 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant x\right.) e 0 \leqslant z \leqslant 4\}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
da campo \mathbf{F}=xy\,\mathbf{i}+yz\,\mathbf{j}+z^2\,\mathbf{k} pela superfície fechada S que é fronteira da região
Q=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le1,\;0\le y\le x,\;0\le z\le4\}.
Conteúdo: Teorema da divergência. Vamos precisar calcular \nabla\cdot\mathbf{F} e fazer uma integral tripla sobre Q.

Passo 2

Pelo Teorema da divergência,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS =\iiint_{Q}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Calculamos a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy) +\frac{\partial}{\partial y}(yz) +\frac{\partial}{\partial z}(z^2) =y+z+2z =y+3z.

Passo 3

Logo o fluxo é
\iiint_{Q}(y+3z)\,dV =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}\!\int_{z=0}^{4}(y+3z)\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{4}(y+3z)\,dz =\int_{0}^{4}y\,dz+\int_{0}^{4}3z\,dz =4y + 3\cdot\frac{4^2}{2} =4y + 24.
Depois em y:
\int_{0}^{x}(4y+24)\,dy =4\cdot\frac{x^2}{2}+24x =2x^2+24x.

Passo 5

Falta integrar em x:
\int_{0}^{1}(2x^2+24x)\,dx =2\cdot\frac{1^3}{3}+24\cdot\frac{1^2}{2} =\frac{2}{3}+12 =\frac{38}{3}.

Resposta

\frac{38}{3}.

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