( 22 pontos)
(a) Determine se a seguinte sequência converge ou diverge.
Caso convirja, calcule seu limite.
(b) Considere a seguinte sequência definida por
(i) Ela é monótona? Justifique.
(ii) Calcule seu limite.
(a) Determine se a seguinte sequência converge ou diverge.
(b) Considere a seguinte sequência definida por
(ii) Calcule seu limite.
Passo 1
O enunciado apresenta duas partes envolvendo sequências:
(a) , de conteúdo convergência de sequência real;
(b) , de conteúdo monotonicidade e limite de sequência.
Para resolver, vamos usar, em (a), o fato de que é limitada e o Teorema do Confronto; em (b)(i) compararemos termos vizinhos para ver monotonicidade e em (b)(ii) usaremos propriedades de logaritmo e limite.
(a)
(b)
Para resolver, vamos usar, em (a), o fato de que
Passo 2
Para (a), note que para todo
temos
e, portanto,
Como
, pelo Teorema do Confronto obtemos
logo a sequência converge e seu limite é
.
Passo 3
Para (b)(i), reescrevemos
Como a função
é decrescente para
, ou verificando diretamente
vemos que
é estritamente monótona decrescente.
Passo 4
Para (b)(ii), basta calcular
Resposta
(a) A sequência converge e
.
(b)(i) A sequência é monótona decrescente.
(b)(ii) .
(b)(i) A sequência
(b)(ii)