( 22 pontos)
(a) Determine se a seguinte sequência converge ou diverge.
\left(\frac{\cos (n)}{n+1}\right)
Caso convirja, calcule seu limite.
(b) Considere a seguinte sequência definida por
a_{n}=\ln (n+1)-\ln (n) .
(i) Ela é monótona? Justifique.
(ii) Calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado apresenta duas partes envolvendo sequências:
(a) \displaystyle\bigl(\tfrac{\cos(n)}{n+1}\bigr), de conteúdo convergência de sequência real;
(b) a_{n}=\ln(n+1)-\ln(n), de conteúdo monotonicidade e limite de sequência.
Para resolver, vamos usar, em (a), o fato de que \cos(n) é limitada e o Teorema do Confronto; em (b)(i) compararemos termos vizinhos para ver monotonicidade e em (b)(ii) usaremos propriedades de logaritmo e limite.

Passo 2

Para (a), note que para todo n\ge1 temos
-1 \le \cos(n) \le 1
e, portanto,
-\,\frac{1}{n+1} \le \frac{\cos(n)}{n+1} \le \frac{1}{n+1}.
Como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0, pelo Teorema do Confronto obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(n)}{n+1}=0,
logo a sequência converge e seu limite é 0.

Passo 3

Para (b)(i), reescrevemos
a_n = \ln(n+1) - \ln(n) = \ln\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr).
Como a função x\mapsto\ln(1+1/x) é decrescente para x>0, ou verificando diretamente
a_{n+1} = \ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n+1}\bigr) < \ln\!\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr) = a_n,
vemos que (a_n) é estritamente monótona decrescente.

Passo 4

Para (b)(ii), basta calcular
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\ln\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr) = \ln(1) = 0.

Resposta

(a) A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos(n)}{n+1}=0.
(b)(i) A sequência \,a_n=\ln(n+1)-\ln(n) é monótona decrescente.
(b)(ii) \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0.

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