Em cada um dos itens abaixo, calcule \iint_{S} \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n} d S, sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}, S o hemisfério z=\left(a^{2}-x^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\, com normal \(\vec{n} apontando para fora.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS
onde \vec{F}(x,y,z)=z\,\vec{i}+x\,\vec{j}+y\,\vec{k} e S é o hemisfério definido por
z=\bigl(a^{2}-x^{2}-y^{2}\bigr)^{\frac12}
com a normal apontando para fora. O conteúdo envolvido é o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície aberta; usaremos o fato de que \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0 e o Teorema da Divergência aplicado à superfície fechada que consiste no hemisfério mais o disco que o fecha.

Passo 2

Calculemos o rotacional de \vec{F}. Se \vec{F}=(P,Q,R)=(z,x,y), então
\operatorname{rot}\vec{F} =\nabla\times\vec{F} =\bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr) =(1-0,\;1-0,\;1-0)=(1,1,1).

Passo 3

Formamos a superfície fechada S' composta pelo hemisfério S mais o disco D\colon z=0,\;x^{2}+y^{2}\le a^{2}. Pelo Teorema da Divergência temos
\iint_{S'}\!(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =\iiint_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\vec{F}\bigr)\,dV =0,
pois \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0. Logo
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS +\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =0 \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =-\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 4

No disco D de raio a em z=0, a normal exterior à região volumétrica é para baixo, \vec{n}=-\vec{k}. Como \operatorname{rot}\vec{F}=(1,1,1), temos
(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n} =(1,1,1)\cdot(-\vec{k}) =-1.
Portanto
\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =-1\cdot\bigl(\text{área de }D\bigr) =-1\cdot\pi a^{2} =-\pi a^{2}.á

Passo 5

Substituindo em
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =-\iint_{D}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS
vem
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS =-\bigl(-\pi a^{2}\bigr) =\pi a^{2}.

Resposta

\displaystyle \pi a^{2}

Exercícios relacionados