Em cada um dos itens abaixo, calcule
, sendo dados:
o hemisfério
apontando para fora.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o hemisfério definido por
com a normal apontando para fora. O conteúdo envolvido é o fluxo do rotacional de um campo vetorial através de uma superfície aberta; usaremos o fato de que
e o Teorema da Divergência aplicado à superfície fechada que consiste no hemisfério mais o disco que o fecha.
Passo 2
Calculemos o rotacional de
. Se
, então
Passo 3
Formamos a superfície fechada
composta pelo hemisfério
mais o disco
. Pelo Teorema da Divergência temos
pois
. Logo
Passo 4
No disco
de raio
em
, a normal exterior à região volumétrica é para baixo,
. Como
, temos
Portanto
Passo 5
Substituindo em
vem