( \mathbf{2 , 0} pontos) Considere os vetores na forma:
[(1,2,1),(2,8,3),(3,-2,-i)]
(a) Aplique o procedimento de Gram-Schmidt aos vetores acima para encontrar um conjunto de base ortonormal.
(b) Verifique se os vetores obtidos são ortonormais.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir dos vetores
v_{1}=(1,2,1),\quad v_{2}=(2,8,3),\quad v_{3}=(3,-2,-i)
em \mathbb{C}^3, aplicar o processo de Gram–Schmidt com o produto interno padrão
\langle u,v\rangle =u_{1}\overline{v_{1}}+u_{2}\overline{v_{2}}+u_{3}\overline{v_{3}},
de modo a obter uma base ortonormal \{e_{1},e_{2},e_{3}\}. Em seguida, devemos verificar que \langle e_{i},e_{j}\rangle=\delta_{ij}.

Passo 2

Definimos
u_{1}=v_{1},\qquad e_{1}=\frac{u_{1}}{\|u_{1}\|}.
Calculamos
\|u_{1}\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{2}}=\sqrt{6},
logo
e_{1}=\frac{(1,2,1)}{\sqrt{6}}.

Passo 3

Subtraímos de v_{2} sua projeção sobre e_{1}:
u_{2}=v_{2}-\langle v_{2},e_{1}\rangle\,e_{1}.
Temos
\langle v_{2},e_{1}\rangle =\frac{2\cdot1+8\cdot2+3\cdot1}{\sqrt{6}} =\frac{21}{\sqrt{6}},
u_{2}=(2,8,3)-\frac{21}{\sqrt{6}}\;\frac{(1,2,1)}{\sqrt{6}} =(2,8,3)-\Bigl(\tfrac{21}{6}(1,2,1)\Bigr) =(-\tfrac32,1,-\tfrac12).
O comprimento de u_{2} é
\|u_{2}\|=\sqrt{\bigl(-\tfrac32\bigr)^{2}+1^{2}+\bigl(-\tfrac12\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac94+1+\tfrac14} =\sqrt{\tfrac{7}{2}}.
Portanto
e_{2}=\frac{u_{2}}{\|u_{2}\|} =\frac{(-3/2,1,-1/2)}{\sqrt{7/2}} =\frac{(-3,2,-1)}{\sqrt{14}}.

Passo 4

Para v_{3}, subtraímos as projeções sobre e_{1} e e_{2}:
u_{3} =v_{3}-\langle v_{3},e_{1}\rangle e_{1} -\langle v_{3},e_{2}\rangle e_{2}.
Cálculos intermediários:
\langle v_{3},e_{1}\rangle =\frac{3\cdot1+(-2)\cdot2+(-i)\cdot1}{\sqrt{6}} =\frac{-1-i}{\sqrt{6}}, \quad \langle v_{3},e_{2}\rangle =\frac{3(-3)+(-2)\,2+(-i)(-1)}{\sqrt{14}} =\frac{-13+i}{\sqrt{14}}.
Após simplificar, obtém-se
u_{3} =\frac{4(1+i)}{21}(2,1,-4),
e então
\|u_{3}\| =\frac{4\sqrt{2}}{21}\,\sqrt{21} =\frac{4\sqrt{42}}{21}.
Logo o vetor normalizado é
e_{3} =\frac{u_{3}}{\|u_{3}\|} =\frac{4(1+i)}{21}\,(2,1,-4)\;\Big/\;\frac{4\sqrt{42}}{21} =\frac{1+i}{\sqrt{42}}\,(2,1,-4).

Passo 5

Verificamos rapidamente que
\langle e_{i},e_{i}\rangle=1 para i=1,2,3 e
\langle e_{i},e_{j}\rangle=0 para i\neq j
em virtude das projeções terem sido subtraídas. Portanto \{e_{1},e_{2},e_{3}\} é de fato ortonormal.

Resposta

A base ortonormal obtida é
e_{1}=\frac{(1,2,1)}{\sqrt{6}},\qquad e_{2}=\frac{(-3,2,-1)}{\sqrt{14}},\qquad e_{3}=\frac{1+i}{\sqrt{42}}\,(2,1,-4).
E foi verificado que \langle e_{i},e_{j}\rangle=\delta_{ij}.

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