(44 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é a_{n}=n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{n}\right), é limitada e é convergente.
(b) ( ) Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} uma série convergente de termos positivos. Então a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}} também é convergente.
(c) ( ) A série \sum_{n=1}^{\infty}(\pi)^{n-1} 3^{-(n-1)} é uma série geométrica convergente, com soma igual a \frac{3}{3+\pi}.
(d) ( ) A série dada por
3+2+\frac{4}{3}+\frac{8}{9}+\frac{16}{27}+\ldots
converge para 9.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries. Vamos usar:
– Para sequência, o teste de limite e a relação \sin x\sim x quando x\to0.
– Para séries de termos positivos, a consequência de convergência é a_n\to0.
– Para séries geométricas, a convergência ocorre se |r|<1 e a soma é a_1/(1-r).

Passo 2

Analisando (a): a_n = n\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1n\bigr). Como \operatorname{sen} x\sim x para x\to0, temos
\lim_{n\to\infty}n\operatorname{sen}\Bigl(\frac1n\Bigr) =\lim_{n\to\infty}\frac{\operatorname{sen}(1/n)}{1/n}=1.
Logo (a_n) converge a 1 e, portanto, é limitada. A afirmação é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b): se \sum a_n converge com a_n>0, então a_n\to0. Logo 1/a_n\to\infty e nem sequer é condição necessária para que \sum1/a_n tenha termo geral que tende a zero. A série \sum1/a_n diverge. A afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando (c): a série é
\sum_{n=1}^\infty (\pi)^{n-1}3^{-(n-1)} =\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac\pi3\Bigr)^{n-1}.
O termo geral é geométrico com razão r=\pi/3>1, logo diverge. Mesmo que \pi/3<1, a soma seria 1/(1-\pi/3)=3/(3-\pi), não \tfrac{3}{3+\pi}. A afirmação é falsa.

Passo 5

Analisando (d): a série é
3 + 2 + \frac43 + \frac89 + \frac{16}{27} + \cdots
que é geométrica de primeiro termo a_1=3 e razão r=\tfrac23 (pois 3\cdot\tfrac23=2, 2\cdot\tfrac23=\tfrac43, etc.). Como |r|<1, ela converge e
\sum_{n=1}^\infty a_1r^{\,n-1} =\frac{3}{1-\tfrac23}=9.
A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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