(44 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é
, é limitada e é convergente.
(b) ( ) Seja
uma série convergente de termos positivos. Então a série
também é convergente.
(c) ( ) A série
é uma série geométrica convergente, com soma igual a
.
(d) ( ) A série dada por
converge para 9.
(a) ( ) A sequência, cujo termo geral é
(b) ( ) Seja
(c) ( ) A série
(d) ( ) A série dada por
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre convergência de sequências e séries. Vamos usar:
– Para sequência, o teste de limite e a relação quando
.
– Para séries de termos positivos, a consequência de convergência é .
– Para séries geométricas, a convergência ocorre se e a soma é
.
– Para sequência, o teste de limite e a relação
– Para séries de termos positivos, a consequência de convergência é
– Para séries geométricas, a convergência ocorre se
Passo 2
Analisando (a):
. Como
para
, temos
Logo
converge a 1 e, portanto, é limitada. A afirmação é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b): se
converge com
, então
. Logo
e nem sequer é condição necessária para que
tenha termo geral que tende a zero. A série
diverge. A afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando (c): a série é
O termo geral é geométrico com razão
, logo diverge. Mesmo que
, a soma seria
, não
. A afirmação é falsa.
Passo 5
Analisando (d): a série é
que é geométrica de primeiro termo
e razão
(pois
,
, etc.). Como
, ela converge e
A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira