Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
20) \int \frac{1}{x \ln (x)} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx.
O conteúdo principal é o método de substituição, aproveitando que a derivada de \ln(x) é 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln(x),
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du = \frac{1}{x}\,dx
e, portanto, \displaystyle \frac{dx}{x} = du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \int \frac{1}{u}\,\bigl(\tfrac{dx}{x}\bigr) = \int \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x (isto é, u = \ln(x)), a primitiva é
\ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|\ln(x)\bigr| + C

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