Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
27) \quad \int 4 \tan ^{3}(x) \operatorname{sec} ^{2}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 4\,\tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, lembrando que a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan(x).
Como \frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^{2}(x), temos
du = \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, note que \tan^{3}(x)=u^{3} e \operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=du. Assim,
\int 4\,\tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx =4\int u^{3}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
4\int u^{3}\,du =4\cdot\frac{u^{4}}{4} =\;u^{4}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u=\tan(x):
u^{4}+C =\tan^{4}(x)+C.

Resposta

\int 4\,\tan^{3}(x)\,\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx =\tan^{4}(x)+C.

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