Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
24) \quad \int \cos ^{3}(x / 2) \operatorname{sen}(x / 2) d x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int \cos^3\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição simples, reconhecendo que a derivada de \cos(x/2) envolve \sin(x/2).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Diferenciando, vem
du = -\tfrac12\,\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = -2\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \cos^3\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,dx = \int u^3\bigl(-2\,du\bigr) = -2\int u^3\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-2\int u^3\,du = -2\cdot\frac{u^4}{4} + C = -\frac{u^4}{2} + C.
Voltando a x, fica
-\frac{1}{2}\cos^4\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-\tfrac12\cos^4\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

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