Em cada um dos itens abaixo, calcule a integral dada.
(f) integral0^1 xe^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 xe^2x,dx = integral0^1 x e^-2x ,dx
O conteúdo é integração por partes, pois temos um produto entre uma função polinomial e um exponencial. Vamos usar a fórmula de integração por partes para obter a primitiva.

Passo 2

Escolhemos u = x e dv = e^-2x ,dx. Então
du = dx,
v = integral e^-2x ,dx = -12e^-2x
Aplicando a fórmula integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos a primitiva
F(x) = x l(-12e^-2xr) - integral l(-12e^-2xr),dx
Isso simplifica para
F(x) = -x2e^-2x + 12 integral e^-2x ,dx = -x2e^-2x - 14e^-2x + C = -2x+14e^-2x + C

Passo 3

Agora avaliamos a primitiva nos limites de 0 a 1:
F(1) = -2cdot1+14e^-2 = -34e^-2,
F(0) = -2cdot0+14e^0 = -14
Assim a integral vale
F(1)-F(0) = -34e^-2 - l(-tfrac14r) = 1 - 3e^-24

Resposta

1 - 3e^-24

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