Nos itens abaixo admita que a in R, com a>0, n in N, e verifique as seguintes identidades:
(b) L(e^a t)=1s-a, com s>a

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a transformada de Laplace de e^a t é 1/(s - a) para a>0 e s>a. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar usar a definição Lf(t)=integral0^inftye^-s tf(t),dt e propriedades de integrais impróprias.

Passo 2

Começamos aplicando a definição da transformada de Laplace a f(t)=e^a t. Assim,
Le^a t=integral0^inftye^-s t,e^a t,dt
Reunindo os expoentes obtemos
integral0^inftye^-(s - a)t,dt

Passo 3

Para que essa integral imprópria convirja é preciso que o coeficiente de t em exponencial seja positivo, isto é, s - a>0, ou seja, s>a. Agora usamos o resultado padrão de integrais exponenciais: se alpha>0, então
integral0^inftye^-alpha t,dt=[-tfrac1alphae^-alpha t]0^infty=1alpha
Aqui alpha=s - a, logo
integral0^inftye^-(s - a)t,dt=1s - a

Resposta

Le^a t=1s - a, s>a

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