Desenhe a região de integração e troque a ordem de integração.
integral0^1 integralx^4^x^2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Estamos mudando a ordem de integração da integral iterada integral0^1 integralx^4^x^2 f(x,y),dy,dx, que envolve a região no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^4 e y=x^2. Vamos desenhar e depois achar os novos limites.

Passo 2

Primeiro, para visualizar, note que em [0,1] temos x^4 sempre abaixo de x^2. A região R é dada por
.

Passo 3

Para trocar a ordem, fixamos um valor de y e determinamos para quais x ele fica na região. As desigualdades são
x^4<= y e y<= x^2.
Da primeira vem x<= y^1/4 (como x>=0) e da segunda vem x>=raizy.

Passo 4

Precisamos também do intervalo de y que a região alcança. Como entre x=0 e x=1 as curvas variam de 0 a 1, temos
(0\le y\le1.

Passo 5

Reescrevendo a integral com y externo e x interno, os limites ficam
.

Resposta

integral0^1integralraizy^y^1/4f(x,y),dx,dy

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