Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
2) \int\left(x^{3 / 2}-4 x^{1 / 2}+7 x^{-1}+x^{-2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\bigl(x^{3/2}-4x^{1/2}+7x^{-1}+x^{-2}\bigr)\,dx.
Estamos em cálculo de funções potência, usando a regra básica de antiderivação.

Passo 2

A regra de potência diz que, para n\neq -1,
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
e para n=-1,
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 3

Vamos aplicar a regra termo a termo:
  1. \displaystyle \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{(3/2)+1}}{(3/2)+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,x^{5/2}.
  2. \displaystyle \int -4x^{1/2}\,dx = -4\;\frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = -4\;\frac{x^{3/2}}{3/2} = -\frac{8}{3}\,x^{3/2}.
  3. \displaystyle \int 7x^{-1}\,dx = 7\ln\lvert x\rvert.
  4. \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.

Passo 4

Somando todos os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int\bigl(x^{3/2}-4x^{1/2}+7x^{-1}+x^{-2}\bigr)\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{8}{3}x^{3/2} + 7\ln\lvert x\rvert - x^{-1} + C.

Resposta

\frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{8}{3}x^{3/2} + 7\ln\lvert x\rvert - x^{-1} + C.

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