Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
19) \int \frac{\ln (x)}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição simples (u-substituição), pois vemos \ln(x) e x no denominador.

Passo 2

Fazemos a troca de variável definindo
u = \ln(x).
Então derivando ambos os lados, obtemos
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = x\,du.
Mas podemos observar que \frac{1}{x}\,dx = du, o que simplifica diretamente a integral.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int \frac{\ln(x)}{x}\,dx = \int u\,du.
Agora é uma primitiva básica de u.

Passo 4

Integramos em u e retornamos para x:
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad \frac{(\ln(x))^2}{2} + C.

Resposta

\frac{(\ln(x))^2}{2} + C

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