Para cada um dos itens abaixo, verifique se o resultado para a integral está correto ou não.
\int \tan (x) d x=-\ln (\cos (x))+c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a antiderivada proposta
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl(\cos(x)\bigr) + C
está correta. O conteúdo aqui é técnica de integração de funções trigonométricas, em particular usar a identidade \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e a substituição u=\cos(x).

Passo 2

Vamos checar diferenciando o lado direito. Suponha
F(x) = -\ln\bigl(\cos(x)\bigr).
Então, usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \bigl(-\sin(x)\bigr) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x).
Isso mostra que, localmente, F'(x)=\tan(x) desde que \cos(x)\neq0 e \cos(x)>0.

Passo 3

Para tratar todos os intervalos onde \cos(x) muda de sinal, precisamos garantir que o logaritmo seja sempre definido. A forma rigorosa inclui valor absoluto dentro do logaritmo:
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
Sem o valor absoluto, -\ln(\cos(x)) só faz sentido quando \cos(x)>0.

Passo 4

Portanto, a integral dada estava quase certa, mas faltou indicar o valor absoluto para cobrir todos os casos em que \cos(x) pode ser negativo.

Resposta

A fórmula está incorreta como escrita. O resultado completo e correto é
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

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