Para cada um dos itens abaixo, verifique se o resultado para a integral está correto ou não. \int \tan (x) d x=-\ln (\cos (x))+c.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a antiderivada proposta
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl(\cos(x)\bigr) + C
está correta. O conteúdo aqui é técnica de integração de funções trigonométricas, em particular usar a identidade \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e a substituição u=\cos(x).
Passo 2
Vamos checar diferenciando o lado direito. Suponha
Isso mostra que, localmente, F'(x)=\tan(x) desde que \cos(x)\neq0 e \cos(x)>0.
Passo 3
Para tratar todos os intervalos onde \cos(x) muda de sinal, precisamos garantir que o logaritmo seja sempre definido. A forma rigorosa inclui valor absoluto dentro do logaritmo:
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.
Sem o valor absoluto, -\ln(\cos(x)) só faz sentido quando \cos(x)>0.
Passo 4
Portanto, a integral dada estava quase certa, mas faltou indicar o valor absoluto para cobrir todos os casos em que \cos(x) pode ser negativo.
Resposta
A fórmula está incorreta como escrita. O resultado completo e correto é